江苏省苏锡常镇四市2019届高三3月教学情况调研(一)数学试题

·1· 江苏省苏锡常镇四市2019届高三3月教学情况调研（一）

数学试题

数学Ⅰ试题

命题单位：常州市教育科学研究院 2019．3

参考公式：

柱体的体积公式：V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是高．

直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A

B =，则A B = ▲ ． 2．若复数z =13i 1i +-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 3．已知双曲线2218x y m -=

m 的值为 ▲ ． 4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ． 5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．

（第5题）

·2·

7． 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．

8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ． 9．已知2tan()5a b +=

，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭的值为 ▲ ．

10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，13

2

k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ． 11．已知正数,x y 满足22x y +=，则

8x y

xy

+的最小值为 ▲ ． 12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，

若1

5

AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．

13．已知函数22(2)e ,0,

()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩

≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰

有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆

222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积

的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；

（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4

cos 5

A =

，求a 和sin C ．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且

1

1

1

D

C B A

C

B

A （第16题）

（第12题）

A

B

C

D

O

G

·3· 160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．

（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ；

（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．

17．（本小题满分14分）

一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．

（1）求V 关于θ的函数表达式；

（2）求q 的值，使体积V 最大；

（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．

18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

上不同的三点，A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上． θD C B

A O （第17题）

·4·

（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；

（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且

直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．

19．（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．

（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．

20．（本小题满分16分）

已知函数e ()ln ,()e x

x

f x mx a x m

g x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；

（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111

()()()()

f x f x

g x g x -<

-

恒成立，求a 的最小值；

（第18题）

·5· （3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e ]上

总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．

2019年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学Ⅱ（附加题）

命题单位：常州市教育科学研究院 2019．3

21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延

长线上一点 …… 此处隐藏：8097字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……