10-1对弧长的曲线积分

一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量 M s . 分割M 1 , M 2 , , Mn 1

y

B

L( i , i )

M n 1 Mi

M2

Ao

M1

M i 1

si ,

x

取 ( i , i ) s i ,

M i ( i , i ) s i .

求和 取极限

M

n

( i , i ) s i .

近似值精确值

i 1

M lim

0

n

( i , i ) s i .

i 1

二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设 L 为 xoy 面内一条光滑曲线弧 在 L 上有界 .用 L 上的点 M 1 , M 2 , , M 个小段 .设第 i 个小段的长度为 i 个小段上任意取定的一 作乘积 f ( i , i ) s i , 并作和 点, , 函数 f ( x , y )n 1

把 L 分成 n

s i , 又 ( i , i ) 为第y

B

L( i , i )M2

M n 1 Mi

n

f ( i , i ) si ,o

A

M1

M i 1

i 1

x

如果当各小弧段的 这和的极限存在

长度的最大值 , 则称此极限为函数

0时 , f (x, y) 第一类曲

在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或 线积分 , 记作被积函数

L

f ( x , y ) ds , 即

L

f ( x , y ) ds lim积分弧段

0

n

f ( i , i ) si .

积分和式

i 1

曲线形构件的质量 M ( x , y )ds.L

2.存在条件：当 f ( x , y ) 在光滑曲线弧 对弧长的曲线积分 L 上连续时 ,

f ( x , y ) ds 存在 .L

3.推广函数 f ( x , y , z ) 在空间曲线弧 曲线积分为 上对弧长的

f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si . 0i 1

n

注意：1. 若 L ( 或 ) 是分段光滑的 , ( L L1 L 2 )

2.

L1 L2

f ( x , y )ds

f ( x , y )ds

L1

f ( x , y )ds.

L2

函数 f ( x , y ) 在闭曲线

L 上对弧长的

曲线积分记为

f ( x , y ) ds .L

4.性质(1) [ f ( x , y ) g ( x , y )]ds L

f ( x , y )ds

L

g ( x , y )ds.

L

( 2) kf ( x , y )ds k f ( x , y )dsL L

( k为常数).

( 3) f ( x , y )ds L

f ( x , y )ds

L1

f ( x , y )ds.

L2

( L L1 L2 ).

三、对弧长曲线积分的计算定理设 f ( x , y ) 在曲线弧 L 的参数方程为 x ( t ), y ( t ),

L 上有定义且连续 ( t ) 其中 , 且

,

( t ), ( t ) 在 [ , ]上具有一阶连续导数

L

f ( x , y ) ds

2 2 f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) dt

( )

注意:1 . 定积分的下限

一定要小于上限

;.

2 . f ( x , y )中 x , y 不彼此独立

, 而是相互有关的

特殊情形(1 ) L : y ( x ) a x b.

f ( x , y ) ds L

b

2 f [ x , ( x )] 1 ( x )dx . ( a b )

a

(2) L : x ( y )

c y d.

f ( x , y ) ds L

d

f [ ( y ), y ] 1 ( y )dy .2

c

(c

d )

推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ).

( t )

f ( x , y , z )ds

2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( )

例1 求 I

L

x a cos t , xyds , L : 椭圆 ( 第 象限 ). y b sin t ,2 2

解 I

0

2

a cos t b sin t ( a sin t ) ( b cos t ) dt

ab 2 sin t cos t0

a sin t b cos2 2 2

2

t dt2 2

ab a b2 2

a

u du2

2

b

(令u

a sin t b cos t )2 2

ab ( a ab b )2

3(a b )

.

例2 求 I

yds ,L 2

y 4x2

其中 L : y 4 x , 从 ( 1 , 2 ) 到 ( 1 , 2 ) 一段 .

解

I

2 2

y 1 ( ) dy 0 . 22

y

例3 求 I 2

xyzds2

,

其中 : x a cos , y a sin , (0 2 )a k d 2 2

z k 的一段 .

解 I

0

a cos sin k

1 2

ka

2

a k .2 2

例4 求 I

x ds ,2 2 2 2

2

x y z a , 其中 为圆周 x y z 0.

解 由对称性, 知故 I 1 3

2

x ds 2

y ds 2

z ds .

2

2

( x y z ) ds2 2

a

3

ds

2 a 3

3

. (2 a

ds , 球面大圆周长

)

四、几何与物理意义( 1 ) 当 ( x , y ) 表示 L 的线密度时 ,

M

( x , y ) ds ;L

( 2 ) 当 f ( x , y ) 1时 , L 弧长

ds ;L

z f ( x, y)

( 3 ) 当 f ( x , y ) 表示立于 L 上的 柱面在点 ( x , y ) 处的高时 ,S 柱面面积

s

f ( x , y ) ds .L

L

( 4 ) 曲线弧对Ix

x 轴及 y 轴的转动惯量x ds ,2

,

L

Iy

L

y ds .2

( 5 ) 曲线弧的重心坐标

x

x ds , dsL L

y

y ds . dsL L

五、小结1、对弧长曲线积分的概念

2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用