高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式考前过关训练含解析新人教A版选修4

柯西不等式、排序不等式与数学归纳法

考前过关训练

(35分钟60分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.函数y=2+的最大值为( )

A. B.- C.-3 D.3

【解析】选D.y=·+1·

≤=3,

当且仅当=,即x=0时,等号成立.

2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.

【解析】选B.由柯西不等式,得

(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,

即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,

当且仅当==时等号成立.

又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,

故5-a2≥(3-a)2,

解得1≤a≤2,即a的最大值是2.

3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的( )

A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1

B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2

C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3

D.以上答案都不对

【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.

4.对于正整数n,下列说法不正确的是( )

A.3n≥1+2n

B.0.9n≥1-0.1n

C.0.9n<1-0.1n

D.0.1n≥1-0.9n

【解析】选C.由贝努利不等式知,选项C不正确.

5.(2016·菏泽高二检测)已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为( )

A. B. C. D.

【解析】选D.由柯西不等式得,

(2x2+3y2+z2)≥(x+y+z)2=1,

所以(2x2+3y2+z2)≥.

6.(2016·苏州高二检测)已知x,y,z∈R+,且++=1,则x++的最小值为

( ) A.5 B. 6 C. 8 D.9

【解析】选D.由柯西不等式,知

≥(1+1+1)2=9,

因为++=1,所以x++≥9.

即x++的最小值为9.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.已知点P是边长为2的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x,y,z,则x,y,z所满足的关系式为________,x2+y2+z2的最小值是______.

【解析】利用三角形面积相等,得