一类递推数列极限的多种证法

递推数列的极限是大学数学分析教材和硕士研究生入学考试中经常出现的问题.给出了一类递推数列极限的10种证明方法.

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20 0 7年 1 2月

郧阳师范高等专科学校学报J u n lo n a g Te c e s C l g o r a fYu y n a h r o l e e

De . 20 c 07 Vo127 N o . .6

第2 7卷第 6期

一

类递推数列极限的多种证法邓乐斌，贾卫红数学系，湖北丹江口 42 0) 4 7 0

(阳师范高等专科学校郧[摘

要]推数列的极限是大学数学分析教材和硕士研究生入学考试中经常出现的问题 .出了一类递递给

推数列极限的 1证明方法. O种

[关键词]推数列；西准则；缩数列；调有界定理递柯压单[围分类号] 7中 O1 1[献标识码1文 A[文章编号] 0 8 6 7 (0 7 O一 O 2一 O 10 - 0 2 2 0 )6 O 3 3

在数学分析教材或硕士研究生入学考试中，递推数求列的极限是重点、点，难同样也是热点 .果说求极限问题如

由此类推： X 1 X与一

一 X 1同号

而 x -x= 2 1

一X=幽 -CI - -X1

是数学分析教材或硕士研究生入学考试中专家、授们精教心呵护的美丽花园的话，么求递推数列的极限无疑是这那

既以 x一x 2 -的符号由 c一的符号所决定，而从 x一 - 的符号就由 X-的取值情况而决定了 . 具体说来有：()当 0 X1 1<≤时有： 1 x_ 0 一≥ ( )当 x1 2>时有： 1 x_ 0 x一< 于是得到如下结论：

座花园里的一朵奇葩！文只是在欣赏这朵奇葩的时候，本在收集、理、整总结的基础上，出了一类递推数列极限问给题的 1 O种证法，望对正在学习数学分析的学生和将要希

参加研究生入学考试的有志之士有所帮助 .

例1设X>o:士，,… 1, 1 2:1,证明：列{ 极限存在，求此极限 .数 x )并(中师范大学硕士研究生入学考试试题 )华例 2设 X> oX o, 1一 ,— o 1 2… ',,

( )当 0< X。 1≤时，墨 ){为单调增加数列( )当 x>时， x为单调减少数列 2。{ )由单调有界定理可知：列{ )敛 .数 x1收设 l X i

.一 A对 m。一，边取极限可得：两

证明：列{ 极限存在，求此极限 .数 x )并(京航空学院研究生入学考试试题 )南

C十^

A= 或 A一一 (去 ) 舍 例 3设 X> o。 。,:‘T^ 0—

,c 1常数 ) (>为

即有 l 一4 i a r"/证法 2因为有 X计- X 一 .=一X=

1. 2……

证明；列{ )敛，数 x收并求/ 的值 . i m(南大学研究生入学考试试题)云

很显然， 1例 2是例 3的特例，例与都我们仅就例 3的形式给出证明，仅在证法一中给出数列{ )求极限并墨的

c+ x_

善≤

( 2 )…

() 0 X≤时，们证明对于一切自然数， 1当< -我都有 0<

的方法，其余的 9种证法中，给出数列{ )敛的证在仅墨收明方法，/而i m墨的求法都同证法一，以不再赘述 .所证法 1由题设有 0<墨< c= 1 2,数列 ,,…即{ )有界数列.墨为 因为一

当 0 X1<≤,假设当一志时， 0五≤,么有<那…

. 一C _^ r

一— !±兰：— c k: 二 一c X一+— 一:

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c+ c( X (一 1 2 .) . c X (+ 1…+ )c )… () 1

c 1+

q十1 c i

即有 0 。<≤,以 Vr∈ N有 0<墨≤所 /( 3)

由于 c 1由()知：>, 1可 x计1 与 x xr同号 .一一，1

[稿日期]0 7 1 8收 2 0—1—0

[作者简介]邓乐斌 (9 3 )男， 1 6 -,湖北房县人，阳师范高等专科学校数学系主任、郧教授，主要从事函数论教学研究.Y YSZX B

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