解析几何(圆锥曲线)全国名校高中数学模拟试题汇编[1]

2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

圆锥曲线

1、已知椭圆C过点M(1,

6

P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、),F( 2,0)是椭圆的左焦点，

2

|QF|成等差数列。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。

6

2 x2y2 1 1 a 4

解：（1）设椭圆C的方程为2 2 1，由已知，得 2，解得 2

ab2ab b 2 2

2

a b 2

x2y2

1 所以椭圆的标准方程为42

x2y2

1，可知

（2）证明：设P(x1,y1),Q(x2,y2)。由椭圆的标准方程为42

|PF| 2 x1

2

同理|OF| 2

………4分 x2,|MF| 2

22

4 x1 x2) 22

∵2|MF| |PF|

|QF|，∴2(2 ∴x1 x2 2…………5分

22

x1 2y1 42222

①当x1 x2时，由 2，得x x 2(y y1212) 0 2

x2 2y2 4

从而有

y1 y21x x 12

x1 x22y1 y2

设线段PQ的中点为N(1,n)，由kPQ

y1 y21

…………6分

x1 x22n

得线段PQ的中垂线方程为y n 2n(x 1)…………7分 ∴(2x 1)n y 0，该直线恒过一定点A(,0)…………8分

1

2

②当x1

x2时，P(1,Q或

1

2

PQ(1, 线段PQ的中垂线是x轴，也过点A(,0)，

∴线段PQ的中垂线过点A(,0) （3）由A(,0)，得B( ,0)。

又 2 x1 2, 2 x2 2，∴x1 2 x2 [0,2]

12

1212

x1211212792

|PB| (x1 ) y1 (x1 ) 2 (x1 1)2 …

222244

2

∴|PB|min

3

时，点P

的坐标为(0, 2

x2y2

2、如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的离心率e

＝，

ab2

左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1 ．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足PA AB m 4，（m R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

解：(Ⅰ)∵MF2 x轴，∴|MF2|

1

,由椭圆的定义得：2

|MF1|

1

2a （2分） 2

∵

|MF1|2 (2c)2

14

，∴

11(2a )2 4c2

24

，

（4分）

又e

322

c a ∴4a2 2a 3a2,

4a 0 a 2

1

∴b2 a2 c2 a2 1，

4

2x∴所求椭圆C的方程为 y2 1． 4

(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为(x,y)

则PA ( 2 x, y)，AB (2, 1), 由PA AB m－4得－4 2x y m 4， ∴点P的轨迹方程为y 2x m.

设点B关于P的轨迹的对称点为B'(x0,y0)，则由轴对称的性质可得：

4 4m2m 3y0 1x1y 1， ,y0 ,0 2 0 m，解得：x0

55x0222

∵点B'(x0,y0)在椭圆上，∴ (

4 4m22m 32

) 4() 4， 55

整理得2m2 m 3 0解得m 1或 m ∴点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 经检验y 2x 1和y 2x

3

2

3

， 2

3

都符合题设， 2

∴满足条件的点P的轨迹方程为y 2x 1或

y 2x

3

． （15分） 2

x2y2

3、椭圆C：2 2 1 a b 0 的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且

ab

PF1 F1F2，且PF1

（1）求椭圆C的方程.

414

，PF2 . 33

（2）若直线l过圆x2 y2 4x 2y 0的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. 解：(1)F1F2

2

20

F1F2 2 2c c

又2a PF1 PF2 6 a 3

x2y2

椭圆C: 1

94

y k x 2 1

（2） x2y2 4 9k x2 36k2 18k 36k2 36k 27 0

1 4 9

A、B关于M对称

x1 x218k2 9k8

2 k 2

294 9k l:y

8

x 2 1 即8x 9y 25 0 9

4、在直角坐标平面内，已知点A(2,0),B( 2,0)， P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为

3. 4

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点(,0)作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M,求直线

12

MA的斜率k的取值范围.

解: (Ⅰ)设P点的坐标为(x,y)，依题意，有

yy3 (x 2) . x 2x 24

化简并整理，得

x2y2

4 3

1(x 2). ∴动点P的轨迹C的方程是x2y2

4 3

1(x 2). (Ⅱ)解法一：依题意，直线l过点(

1

2

,0)且斜率不为零，x my

1

2

, ………6分 由方程组

x my 1 2

y 消去x，并整理得 x22

4

3 14(3m2 4)y2 12my 45 0

设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),则

y1 y3m

2

3m2

4

∴yy1 y23m

0

2

2(3m2 4)

x10 my0

2 23m2 4

, k

y0x m

2

, 0 24m 4

(1)当m 0时，k 0； (2)当m 0时,

故可设其方程为∴

k

144m

m

|4m

44| 4|m| 8 m|m|1

1

. 8

0

4m 0 |k|

4m

1. 811

k 且k 0 .

88

综合(1)、(2)可知直线MA的斜率k的取值范围是： 解法二：依题意，直线l过点(,0)且斜率不为零.

(1) 当直线l与x轴垂直时，M点的坐标为(,0)，此时，k 0； …………6分 (2) 当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l方程为y m(x ), (3) 由方程组

11

k .……………… 14分 88

1

2

12

12

1

y m(x ) 2

消去y，并整理得 22

x y 1 3 4

(3 4m2)x2 4m2x m2 12 0

设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),则

4m2 x1 x2

3 4m2x1 x22m2

∴x0 2

23 4m

13m

y0 m(x0 ) ,

22(3 4m2) k

y0m x0 24m2 4

114(m )

m