范德蒙行列式的应用论文
时间：2025-04-20
范德蒙行列式
范德蒙行列式的应用
摘要 行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量
空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。
关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分
范德蒙行列式
VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS
ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.
Key words: linear algebra， Vandermonde determinant， theory of vector spaces， linear transformation theory， infinitesimal calculus.
范德蒙行列式
第一章 绪 论
1.1 引言
我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式
(1)
称为n 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.
我们来证明，对任意的 阶范德蒙行列式等于
这n 个数的所有可能的差
（1≤j＜i≤n）的乘积.
1.2 范德蒙德行列式的证明
1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式
我们对作归纳法.
（1）当时， 结果是对的.
（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在
范德蒙行列式
中，第行减去第
行的
倍，第倍，有
行减去第
行的
倍，也就是由下而上依
次地从每一行减去它上一行的
()()()
范德蒙行列式
后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差
（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成
立.根据数学归纳法，完成了证明.
用连乘号，这个结果可以简写为
由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是
这n个数中至少有两个相等.
1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式
已知在级行列式
中，第行（或第列）的元素除
外都是零，那么这个行列式等于
与它的代数余子式
的
范德蒙行列式
乘积
，在
=
中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得
=
根据上述定理
=
提出每一列的公因子后得
范德蒙行列式
=
最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有
=
同样可得
=（
此处
）()()
是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得
=（）()（）
1.3 范德蒙行列式的性质
利用行列式的性质容易推得： 1、 若将范德蒙行列式
逆时针旋转
可得
2、 若将范德蒙行列
范德蒙行列式
3、 若将范德蒙行列式
第二章 范德蒙行列式的应用
2.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用
利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。
常见的化法有以下几种：
所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。
范德蒙行列式
例1 计算
解：由范德蒙行列式的性质3得
2.1.1用提取公因式计算行列式
例2 计算
解：
中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按递增次序排
列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得
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