2010-2011-2概率论试题及答案A(2)

青岛科技大学,概况论与统计,工科数学,期末考试,往年试题

n

(Xi 0)2

；

(D) . 2

i 1

三、计算题（共20分）

1．（ 12分）甲，乙，丙三地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为

111

,,，643

现从这三个地区任抽取一个人，求(1)此人染病的概率；(2)如果此人感染流行病，分别计算此人是选自甲地，乙地，丙地的概率. 2．（8分）某地有A,B两队进行乒乓球比赛,规定一方先胜3局则比赛结束.设每场比赛A队获胜的概率为0.5,记X为比赛的局数.（1）写出X的分布律与分布函数；（2）求X的期望. 四、计算题（共30分）

1．（12分）随机变量X的分布函数为

x

2

F(x) a be,x 0,

0,x 0.

2

求：（1）常数a,b；（2）X的概率密度函数；（3

）P X . 2．（8分）已知X~N(0,1)，求Y e的概率密度函数. 3．(10分)设二维随机向量（X，Y）的概率密度为

X

cx2y,x2 y 1,f(x,y)

0,其他.

(1)试确定常数c；(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y)；(3)讨论X与Y的独立性. 五、计算题（共15分）

1．（6分）已知X~B(100,0.2)，求 P{14 X 30}的近似值. （已知 (1.5) 0.9332, (2) 0.9772, (2.5) 0.9938）. 2.（9分）设X1,X2, ,Xn是总体X的一个样本，X的概率密度为

( 1)x ,0 x 1,f(x)

其他. 0,

其中 ( 1)是未知参数，试求 的矩估计量与极大似然估计量. 六、证明题（5分）

已知随机变量X和Y相互独立,均服从正态分布N(0,3)，X1,X2, ,X9与Y1,Y2, ,Y9分别

2

为抽自总体X和Y

的简单样本，证明统计量U

X

9

i

服从自由度为9的t分布.

2

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（答案要注明各个要点的评分标准）

一、填空题（每个小题3分，共15分） 1．

5

； 2．0.7； 3. 4； 4. 0； 5. 0.9. 6

二、选择题（每个小题3分，共15分）

1． A； 2. C； 3．C； 4. D； 5. C． 三、计算下列各题（共20分）

1．（12分）解 设A=｛此人染病｝，B=｛此人来自甲地｝，C=｛此人来自乙地｝，D=｛此人来自丙地｝，则

1111

P(B) P(C) P(D) ,…P(A|B) ,P(A|C) ,P(A|D) , ……………..2

3643

分

（1）由全概率公式，有

P(A) P(A|B)P(B) P(A|C)P(C) P(A|D)P(D)1111111 6343334

分

（2）由贝叶斯公式，有

……………………...6

P(B|A)

P(B)P(A|B)

P(A)

11 2 ……………………….8分 94

11

P(C)P(A|C)1

…………………... 10P(C|A)

1P(A)34

分

11

P(D)P(A|D)4

P(D|A) …………………...12

1P(A)94

分

2．解 （1）X的分布律为

3

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分

分布函数为

….…………4

0,x 3, 1

,3 x 4, 4F(x) ……………………………….…6分

5 ,4 x 5, 8

1,x 5.

(2)E(X) 3

131333

4 5 3 . …………………………….….8分 48888

四、计算下列各题（共30分）

1．（12分）解 （1）由分布函数的性质，得

limF(x) lim(a be

x

x

x22

) 1,即a 1, .…………….2分

x 0

limF(x) lim(a be

x 0

x2

2

) 0,即a b 1, b 1

故 a 1,b 1 ……………………4分 （2）f(x) F (x)

x 2

f

(x) xe,x 0, ………………8

分

0,x 0.

（3

）P X

2

xe

x2

2

dx [ e

x22

1

…………………12分 4

2.（8分）设FY(y),fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当y 0时，有 FY(y) P{Y y} P{e y} P{ } 0. …………2分 当y 0时，因为g

(x) e是x的严格单调增函数，所以有{e y} {X lny}.因而

x

X

X

FY(y) P{Y y} P{eX y} P{X lny}

再由fY(y) FY (y),得

lny

e

x22

dx

………………….…6分

4

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(lny)

2,y 0, fY(y) ………………….…8分

y 0. 0,

2

3．(10分) 解 （1）由

1421 f(x,y)dxdy 2cx2y dy dx c 1,得c . ……2分

1 x 421

1

（2）fX(x)

f(x,y)dy

212 12124

xydy, 1 x 1, x2 x(1 x), 1 x 1,

…………………5分 4 8

0,其他. 0,其他.

fY(y)

f(x,y)dx

75 2

xydx,0 y 1, y2,0 y 1, 2 ………………8分 0,其他. 0,其他.

（3）由于f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立 ………………………10分

五、计算题（共15分）

1．（6分）解：由于X~B(100,0.2)，则 E(X) 20,Var(X) 16. …………2分 P{14 X 30} P{

14 20X 2030 20

444

X 20

P{ 1.5 2.5} … …… 此处隐藏：567字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……