18.1勾股定理(4)——综合应用

复习：(1)勾股定理的内容：

(2)勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角(30°、60°、45°的 特殊角),求其余边长； ③已知一边和另外两边的数量关系，用方程.

课前练习： (1)求出下列直角三角形中未知的边10 62 30°

4

8

245°

8

2 3

2

在解决上述问题时,每个直角三角形需已知 几个条件? A

(2)求AB的长

2 33

13D 2 C

B 1

例1、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,∠A=60°,CD=

3

,求线段AB的长.C

B

D

A

变式训练： △ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高 线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.21 或9

S△ABC=84或36A

8 15

8

17 10

6D

B

C

6 15 当题中没有给出图形时，应考虑图形的形 状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。

例2、在△ABC中，∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm, 求BC的长.

A

B

D

C

勾股定理在非直角三角形中的应用：见特殊角 作高构造直角三角形.

变式1、在△ABC中，∠B=120°,BC=4cm, AB=6cm,求AC的长.C

A

B

D

变式2、在等腰△ABC中，AB=AC=13cm , BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高.

A

A

A

两个直角三角形中，如果有一条公共边，可 利用勾股定理建立方程求解. C B B C B D

E

变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26, BC=25,AC=17,求△ABC的面积.A

B

D

C

方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.

例3、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°, AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.A

A EDA

F

D C

B

C

BD B C M

变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C的坐 标为(0,4),∠B=90°,∠BCO=60°,AB=2, 求点B的坐标.y C B O A x

例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AD平 分∠BAC, AC=6cm,BC=8cm,(1)求线段CD 的长；(2)求△ABD的面积.A

方程思想：直角三 角形中，已知一条 边，以及另外两条 6 边的数量关系时， 可利用勾股定理建 立方程求解.

6 xC x D

10E

4

8-x

B

8

变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABC 的顶点A为(0,6),B为(8,0),AD平分 ∠BAC交x轴于点D, DE⊥AB于E. (1)求△ABD的面积； y (2)求点E的坐标.A

E

O

D

如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE,若已知 AC=10cm,BC=6cm,你能求出CE的长吗？B

D

10-xAE

6

x C

补充练习：

1、在△ABC中，AD是BC边上的高，若 AB=l0,AD=8,AC=17,求△ABC的面积.

S△ABC=84或36

矩形ABCD如图折叠，使点D落在 BC边上的点F处，已知AB=8, BC=10,求折痕AE的长。

A

D E

B

F

C

RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折叠, 使C落到AB上的E处,求CD的长度, C D

B

E

A

例5(1)已知直角三角形的两边长分别是3和 4, 则第三边长为 5 或

7 . (2)三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求BC 21 或9A

8 6 15

8 6D

1710 B C

15

练习5(1)已知直角三角形两边的长分别 是3cm和6cm,则第三边的长是 . (2)△ABC中，AB=AC=2,BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300,求CD 的长.

A D B CB

D A

C

分类思想1.直角三角形中，已知两边长,求第三 边时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。

例7(1)直角三角形中，斜边与一直角边相 差8,另一直角边为12,求斜边的长.