2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第60讲函数极限与函数的连续性

第六十讲

函数极限与函数的连续性

回归课本 1.当 x→∞时，函数 f(x)的极限 当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于 一个常数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f(x)的极限是 a,记 作 lim f(x)=a ,也可记作当 x→+∞时，f(x)→a.x→+∞

当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于负无穷大时，函数 f(x)的极限 是 a,记作 lim f(x)=a ,也可记作当 x→-∞时，f(x)→a.x→-∞

如果 lim f(x)=a 且 lim f(x)=a ,那么就说当 x 趋向于无穷大x→+∞ x→-∞

时， 函数 f(x)的极限是 a, 记作limf(x)=a , 也记作当 x→∞, f(x)→a.x→∞

对于常数 f(x)=C(x∈R),也有limC=C.x→∞

2.当 x→x 0 时，函数 f(x)的极限 当自变量 x 无限趋近于常数 x 0(但 x≠x 0)时， 如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a,就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x)的极限是 a, 记作 lim f(x)=a ,也可记作当 x→x 0 时，f(x)→a, lim f(x)也叫做 x→x0 x→x0 函数 f(x)在点 x=x 0 处的极限.

3.函数的左、右极限 如果当 x 从点 x=x0 左侧(即 x<x 0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a,就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的左极限，记作 lim - f(x)=a . x→x0 如果当 x 从点 x=x0 右侧(即 x>x 0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a 时，就说 a 是函数 f(x)在点 x 0 处的右极限，记 作 lim + f(x)=a . x→x0 且 lim -f(x)= lim + f(x)=a lim f(x)=a. n→x0 x→x0 x→x0

4.函数极限的四则运算法则 如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b,那么 x→x0 x→x0 lim [f(x)± g(x)]=a± b; x→x0 lim [f(x)· g(x)]=a· b; x→x0 f x a lim = (b≠0). x→x0 g x b

5.函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x=x 0 处及其附近有定义，而且 lim f(x) x→x0 =f(x0),就说函数 f(x)在点 x0 处连续. (2)如果函数 f(x)在点 x=x0 处及其右侧(或左侧)有定义，而且 lim + f(x)=f(x0)[或 lim - f(x)=f(x0)],就说函数 f(x)在点 x0 处右连 x→x0 x→x0 续(或左连续). (3)若 f(x)在(a,b)内每一点都连续，且在 a 点右连续，在 b 点 左连续，则称 f(x)在闭区间[a,b]上连续.

6.连续函数的性质 (1)最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么 f(x)在闭区 间[a,b]上有最大值和最小值. (2)如果函数 f(x),g(x)在点 x=x0 处连续，那么 f(x)± g(x), f x f(x)· g(x), (g(x)≠0)在点 x=x0 处都连续. g x

考点陪练 1.下列命题正确的是( ) A.函数极限的值是函数值 B.函数在x=x0处的左、右极限都存在，则函数在x=x0处的极 限存在 C.函数在x=x0处无定义，则函数在x=x0

的极限不存在 D.函数在x=x0的极限存在，函数在x=x0处可能无定义

解析：函数在 x=x0 的极限存在， 其意义为 lim -f(x) = +f(x). x→x0 x→x0 此极限值与 f(x0)没有关系， 即 f(x)在 x=x0 处可有定义也可无定义.

答案：D

1+x m+a 2. 已知 m∈N*, b∈R, a, 若lim =b, a· 则 b=( x x→0 A.-m C.-1 B.m D.1

)

解析：由题意知 1+Cm1x+Cm 2x 2+ +Cmmxm+a lim =b. x x→0 ∴a+1=0,b=Cm1=m,∴a· b=-m.

答案：A

x2-3x+2 3.lim 等于( x2-1 x→1 1 A.- 2 C.1 1 B. 2 D.0

)

x2-3x+2 x-2 x-1 解析：lim =lim x2-1 x→1 x→1 x+1 x-1 x-2 1 =lim =- . 2 x+1 x→1

答案：A

an 1+abn 1 4.设正数 a,b 满足lim (x2+ax-b)=4,则lim n-1 = a +2bn x→2 n→∞ ( ) A.0 1 C. 2 1 B. 4 D.1

+

-

a 1 解析：由条件可得 4+2a-b=4 = , b 2 an 1+abn 1 lim n- 1 =lim a +2bn n→∞ n→∞ + -

答案：B

a n- 1 a +a a 1 b = = .故选 a n- 1 2b 4 +2b b 2

B.

5.

在 x=2 处连续，则 a=________.3x+2 x-2 2 1 解析：∵x>2 时，f(x)= 2 - = = ,且 f(x)在 x -4 x-2 x2-4 x+2 x=2 处连续， 1 1 1 ∴x=2 时，f(x)= = ,∴a= . 4 2+2 4

1 答案： 4

类型一 x→∞型函数的极限 解题准备：在数列极限中n→∞.只表示n→+∞,在函数极限中， x→∞表示x→+∞和x→-∞两种变化趋势，故在研究或讨论 “x→∞时f(x)的极限”时需分别讨论x→+∞和x→-∞两种变化 趋势下的f(x)的极限.【典例 1】 求下列函数的极限：

2x2+x-4 (1)lim 3 2 ; 3x -x +1 x→∞ (2)lim ( x2+1- x2-1);x→∞

4x (3) lim x ; →+∞ 4 -1 x 4x·x+1 2 (4) lim . x·x-1 3 x→+∞

[解析]

2x2 x 4 + 3 - 3 2x2+x-4 x3 x x (1)lim 3 2 =lim 3 x2 1 3x -x +1 x→∞ x→∞ 3x - 3 + 3 x3 x x

=

0+0-0 =0. 3-0+0x→∞

(2)lim ( x2+1- x2-1) x2+1- x2-1 x2+1+ x2-1 =lim x2+1+ x2-1 x→∞ =limx→∞

2 =0. 2 2 x +1+ x -1

4x (3) lim x = lim x→+∞ 4 -1 x→+∞

1 = =1. 1 x 1 x 1- 1- lim 4 x→+∞ 4 2 x 1 + 4× x·x 3 3

1

4x·x+1 2 (4) lim = lim x 3 x→+∞ x· -1 x→+∞ 2 x 1 lim [4× + x x· 3 3 x→+∞ = 1 1- x lim x· 3 x→+∞

1 1- x x· 3 4×0+0 =0. 1-0

] =