33

于是f′(t)= 4(t2-1)= 4(t+1)(t-1).

1

当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2. 1

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－2 1

函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

11

(1)当k＞2或k＜－2时,方程f(t)－k=0有且只有一解； 11

(2)当k=2或k=－2时,方程f(t)－k=0有两解； 11

(3) 当－2＜k＜2时,方程f(t)－k=0有三解.

题型七：导数与不等式的综合

1．设a 0,函数f(x) x ax在[1, )上是单调函数. （1）求实数a的取值范围； （2）设

3

x0

f(x0) x0f(f(x0)) x0

≥1，f(x)≥1，且，求证：.

22 y f(x) 3x a,y 0,即a 3x,这 1, f(x)解：（1） 若在上是单调递减函数，则须

样的实数a不存在.故f(x)在 1, 上不可能是单调递减函数.

2

若f(x)在 1, 上是单调递增函数，则a≤3x， 2

x 1, ,故3x 3.从而0<a≤3. 由于

x f(x0)

（2）方法1、可知f(x)在 1, 上只能为单调增函数. 若1≤0，则

f(x0) f(f(x0)) x0矛盾,

只有

若1≤

f(x0) x0,则f(f(x0)) f(x0),即x0 f(x0)

矛盾，故

f(x0) x0

成立.

方法2：设

f(x0) u,则f(u) x0

，

3 x0 ax0 u,u3 au x0,

两式相减得

32

(x0 u3) a(x0 u) u x0 (x0 u)(x0 x0u u2 1 a) 0, x022 x0 x0u u2 3,又0 a 3 x0 x0u u2 1 a 0

≥1,u≥1，

，

题型八：导数在实际中的应用

1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/

y

小时）的函数解析式可以表示为：

13

x3 x 8(0 x 120).

12800080

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

100

2.5

x 4040解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

13( 403 40 8) 2.5 17.5

80要耗没128000（升）。

100

（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h(x)升， 131001280015

h(x) (x3 x 8). x (0 x 120),

12800080x1280x4依题意得 x800x3 803

h'(x) (0 x 120).

640x2640x2

令h'(x) 0,得x 80.

当x (0,80)时，h'(x) 0,h(x)是减函数； 当x (80,120)时，h'(x) 0,h(x)是增函数。

当x 80时，h(x)取到极小值h(80) 11.25.