2

1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函

数f（x）的单调区间 （2）若对x 〔－1，2〕，不等式f（x） c2恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f （x）＝3x2＋2ax＋b

－

由f （

21241

－a＋b＝0－

3）＝93，f （1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f （x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

22

所以函数f（x）的递增区间是（－ ，－3）与（1，＋ ），递减区间是（－3，1） 1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x 〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x） c2（x 〔－1，2〕）恒成立，只需c2 f（2）＝2＋c，解得c －1或c 2

题型六：利用导数研究方程的根

1

1．已知平面向量a=(,－1). b=(2,2).

yy（1）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2－3)b，=-ka+tb，x⊥，

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.

yx y解：(1)∵x⊥，∴=0 即[a+(t2-3) b]·(-ka+tb)=0. 2 2 ab整理后得-k+[t-k(t2-3)] a b+ (t2-3)·=0

1 2 2

∵a b=0，a=4，b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11

(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个

数.