将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11 8

1 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1)f(x) 1 x2( 1 x 1

2

2

解 因为f(x) 1 x2为偶函数 所以bn 0(n 1 2 ) 而 a0 2 2(1 x2)dx 4 2(1 x2)dx 11

01/206 an 2 2(1 x2)con xdx

1/201/2 4

1

2(1 0

11

1

x)cos2n xdx

2

( 1)n 1n

2

2

(n 1 2 )

由于f(x)在( )内连续 所以

111

f(x) 2

12

( 1)n 1

n2

cos2n x x ( )

n 1

x 1 x 0 1

(2)f(x) 1 0 x

2

1

1 x 1

2

解 an f(x)dx xdx dx 1dx 1

1

1

2

10

1

20

1

2

an f(x)cosn xdx xcosn xdx

1

1

10

1

2c0

osn xdx 1cosn xdx

2

1

212[1 ( 1)n] 2sin (n 1 2 )

n

1

n 2

bn f(x)sinn xdx xsinn xdx

1

1

12sin0

n xdx 1sinn xdx

2

1

2con 1 (n 1 2 )

n

2

n