09年数学建模A题参考

4-2 力矩 -

转动定律 转动惯量

一

力矩

用来描述力对刚体 的转动作用. 的转动作用. v F 对转轴 z 的力矩 v v

zv M

v F

v M = r ×F M = Fr sin θ = Fd

O

v r

*

d

P

θ

v Fi

v ∑ Fi = 0,

d : 力臂 v v F v F F v v v ∑ Mi = 0 ∑ Fi = 0, ∑ M i ≠ 0 i i i

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转动定律 转动惯量

讨论

v 不在转动平面内， (1)若力 F 不在转动平面内，把力分 )

解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩

v 其中 Fz 对转轴的 v

v v v F = Fz + F⊥

z

v kO

v F

v v v M z k = r × F⊥ M z = rF⊥ sin θ

v r

v F z

θ

v F⊥

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转动定律 转动惯量

(2)合力矩等于各分力矩的矢量和 )

v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L

作用力和 (3)刚体内作用力和反作用力的力矩 )刚体内作用力 反作用力的力矩 互相抵消. 互相抵消.v Mij

v rj

jv v Fjiij

Ov Mji

d

v iF ri

v v M ij = M ji

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转动定律 转动惯量

有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 例1 有一大型水坝高 、 水深100m,水面与大坝表面垂直，如图所示 水面与大坝表面垂直， 水深 水面与大坝表面垂直 如图所示. 求作用在大坝上的力， 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .

y

y

xh x O Q OL

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转动定律 转动惯量

设水深h,坝长L, 解 设水深 ，坝长 ，在坝面上取面积 元 dA = Ldy ,作用在此面积元上的力

dF = pdA = pLdyyy

xh y O Q OL

dAdy

x

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转动定律 转动惯量

令大气压为 p0 ,则 p = p0 + ρg (h y )

dF = PdA = [ p0 + ρg(h y)]LdyF = ∫ [ p0 + ρg ( h y )] L dy 0 y 1 2 = p0 Lh + ρgLh 2代入数据， 代入数据，得h y10h

dAdy

F = 5.91×10 N

x OL

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转动定律 转动惯量

v 对通过点 的轴的力矩 dF 对通过点Q的轴的力矩 dM = ydF h M = ∫ y[ p0 + ρg (h y )]Ldy0

dF = [ p0 + ρg (h y )]Ldy

yhv dF

1 1 2 3 = p0 Lh + gρLh 2 6dy 代入数据，得： 代入数据，

y O Q

M = 2.14×10 N m12

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转动定律 转动惯量

二 转动定律(1)单个质点 m ) 与转轴刚性连接

zv MO

v Ft

v F

Ft = mat = mrαM = rF sin θ

v r

θ m v Fn

M = rFt = mr α 2 M = mr α2

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转动定律 转动惯量

(2)刚体 ) v 质量元受外 质量元受外力 Fej, v 内力 Fij2 j j

zO

M ej + M ij = m r α内力矩ej

v rj m j

v Fej

外力矩

v Fij2 j j

∑Mj

+ ∑ M ij = ∑ m r αj

Q Mij = M ji

∴∑ Mij = 0j

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转动定律 转动惯量

∑Mj

ej

= ( ∑ m j r )α2 j

zO

定义转动惯量

v rj m j

v Fej

J = ∑ m r J = r 2dm ∫2 j j j

v Fij

转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正

比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比

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转动定律 转动惯量

转动定律 M = Jα

, 讨论 (1)M = 0 ω不变 )M (2)α ∝ ) J

dω (3) M = Jα = J ) dt

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转动定律 转动惯量

三 转动惯量

J = ∑ m rj

2 j j

J = ∫ r dm2

转动惯量的单位： 转动惯量的单位：kgm2 J 的意义：转动惯性的量度 . 意义：

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转动定律 转动惯量

J 的计算方法 质量离散分布

J = ∑ m r = m r + m r + L+ m r2 j j 2 11 2 2 2

2 j j

质量连续分布

J = ∑m r = ∫ r dm2 j j 2 j

d m :质量元 d V :体积元

= ∫ ρr dV2 V

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转动定律 转动惯量

说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： 有关. (1)与刚体的体密度 ρ 有关. ) (2)与刚体的几何形状及体密度 ρ 的分 ) 布有关. 布有关. 有关. (3)与转轴的位置有关. )与转轴的位置有关

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转动定律 转动惯量

四 平行轴定理的刚体， 质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ,则对任一与 该轴平行， 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量

dC

m

O

J O = J C + md

2

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转动定律 转动惯量

J = Jc + md

2

圆盘对P 圆盘对 轴的转动惯量

P

R

O

m

质量为m,长为L的细棒绕其一端的 的细棒绕其一端的J 质量为 ，长为 的细棒绕其一端的

1 2 2 J P = mR + mR 2

1 2 J c = mL 12

O1

O1’

L2 1 2 J = Jc + m( ) = mL 2 3

d=L/2O2 O2’

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转动定律 转动惯量 竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全

飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？

?

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转动定律 转动惯量

转动定律应用 M = Jα 说明 (1) ) 方向相同. M = Jα , α 与 M 方向相同.

(2) 为瞬时关系. ) 为瞬时关系. (3) 转动中 M = Jα与平动中F = ma ) 地位相同. 地位相同.

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转动定律 转动惯量

质量为m 的物体A 例2 质量为 A的物体 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接， 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为m 索跨过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 C,并系在另一质量为 B 的物体 上，B 竖 ，并系在另一质量为m 的物体B上 直悬挂.滑轮与绳索间无滑动， 直悬挂.滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计. ) 轴承间的摩擦力可略去不计.(1)两物体的 线加速度为多少？ 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？ ) 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 其速率是多少？ 离 y 时，其速率是多少？

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转动定律 转动惯量

解 (1) 用隔离法分 ) 别对各物体作受力分析， 别对各物体作

受力分析， 取如图所示坐标系. 取如图所示坐标系.A

v ′ FT1v PC

v FC

mAv FN v FT1 mA

C

v FT2

mC

v ′ FT2 mB v PB yO

v O PA

x

mB B

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转动定律 转动惯量

FT1 = mA a mB g FT2 = mB aRFT2 RFT1 = Jα a = Rαv FN v FT1 mA

v ′ FT1v PC

v FC

v FT2

v ′ FT2mB v PB yO

v O PA

x