2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2, (a , a ) 1 2

X取什么值依赖于试验结果,即X的 取值带有随机性4

在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.

也有些试验结果本身与数值有关(本身就 是一个数). 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从郑州下火车的人数； 昆虫的产卵数；

七月份郑州的最高温度；

6

定义: 设E是随机试验, 是其样本空间, 如果对每个 ,总有唯一的一个实数 X( )与之对应, 则称X( )为定义在 上 的一个随机变量 随机变量常用X、Y 或 、 等表示

X( ) R7

随机变量的特点:

1. X的全部可能取值是互斥且完备的2. X的部分可能取值描述随机事件

这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？

随机变量与函数变量的比较函数变量: 随机变量:f x

R

X X

R R

样本空间

实数集

定义了随机变量后,就可以用随机 变量的取值情况来刻划随机事件

在例2中,事件“取出的两件产品中没 有 用{X=0}表示 次品” 且概率为: P{X=0}=0.3事件“取出的两件产品中至少有一件 用{X≥1}表示 次 品” 且概率为: P{X≥1}=0.7

例如，从某一学校随机选一 学生，测量他的身高.我们可以把可能的 身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P(X>1.7)=? P(X≤1.5)=?

P(1.5<X<1.7)=?

11

例3 在约会问题中，样本空间为 {( x , y ) | 0 x T , 0 y T }

设X表示甲到达约定地点的时刻，则

X为随机变量。试求：对于给定的实数a,事件{ X a } 的概率 P X a 。

则： 0 a P( X a) T 1 a 0 0 a T a T

引入随机变量的意义有了随机变量,随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼

叫次数用X表示，它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} { X 1} {没有收到呼叫} {X= 0}

随机变量概念的产生是概率论发展 史上的重大事件. 引入随机变量后，对 随机现象统计规律的研究，就由对事件 及事件概率的研究扩大为对随机变量及 其取值规律的研究.随机变量及其 取值规律15

事件及 事件概率

二、分布函数对随机变量的概率分布情况进行刻画 定义: 设X是一随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x), <x<+ 为X的分布函数 X x 显然,有: 0≤F(x)≤116

另, P(x1<X≤x2)=F(x2) F(x1) (x1<x2) X o x1 x2 x ∵ {x1<X≤x2}={X≤x2} {X≤x1}

且{X≤x1} {X≤x2}故: P(x1<X≤x2)=P{X≤x2} P{X≤x1} =F(x2) F(x1)17

性质:(1)F(x)是x的不减函数 即若x1<x2 ,则F(x1)≤F(x2) (2) F ( ) x

lim F ( x ) 0

F ( ) lim F ( x ) 1x

理解: 当x→+ 时,{X≤x}越接近于必然事件18

(3)右连续性: 对任意实数 x0 ,F ( x0 0) lim F ( x ) F ( x0 )x x0

具有上述三个性质的实函数必是某 随机变量的分布函数.该三个性质是分布 函数的充分必要性质

例4 设一个箱子中有依次标有-1,2,2,3数字 的4个乒乓球，从中任取一个乒乓球.记随机变量X 为取得的乒乓球上标有的数字,求X的分布函数，并 分别求 P{ X 0.5}, P{1.5 X 2.5}, P{2 X 3}。 解：X可能取的所有可能取值为-1,2,3, 由古典概率的计算公式，知 取这些值的概率依次为0.25,0.5,0.25 . 当x < -1时 {X≤ x}是不可能事件，因此 F(x)= 0 当-1≤ x < 2时 {X≤ x}等同于{X= -1},因此 F(x)= 0.2520

当2≤ x < 3时 {X≤ x} 等同于{X = -1或X = 2}, 因此 F(x)= 0.25+0.5=0.75 当3≤ x时 {X≤ x}是必然事件，因此 F(x)= 1。 综合起来， F(x)的表达式为：x 1, 0, 0 .2 5 , 1 x 2 , F (x) 0 .7 5 , 2 x 3 , 1, x 3.