二项式定理的复习 1.二项展开式：

c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n

( a + b)

n

=r n r r n n n n

1 n 1 n

这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。 二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk 叫做二项展开式的通项, 通项公式:TK+1=Cnkan-kbk

2.二项展开式的特点 2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 项数： 展开式有共n+1项 n+1 都是组合数， (2) 系数 ： 都是组合数， 依次为C 依次为Cn0,Cn1,Cn2,Cn3,…Cnn C (3) 指数的特点 ： a的指数 (降幂 降幂) 1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 b的指数由0 n (升幂) (升幂) 的指数由 升幂 a和 的指数和为n 3) a和b的指数和为n

3.二项式定理的几个变式：

(a +b)(a-b)n

n

= c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n

1 n 1 n

r n r r n

n n n

1 2 k = an Cnan 1b + Cn an 1b2 + ... + ( 1)n Cn an k bk + ... + ( 1)n bn

(1+x)n

=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn

4. 扬辉三角：0

(a + b ) LLLLLLL 1 1 (a + b ) LLLLLL 1 1 2 (a + b ) LLLLL 1 2 1 3 (a + b ) LLLL 1 3 3 1 4 (a + b ) LLL 1 4 6 4 1 5 (a + b ) LL 1 5 10 10 5 6 (a + b ) L 1 6 15 20 15 6

1 1

表中每行两端都是1,而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.

通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk一.利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些 特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、 特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项 等问题。 等问题。在这里要分清 ①二项展开式中的各项的“二项式系数”与“系数” 二项展开式中的各项的“二项式系数” 系数” 的区别，这是两个不同的概念， 二项式系数” 的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指 C C 这些组合数而言，不包括字母a Cn0、Cn1、…Cnr…Cnn这些组合数而言，不包括字母a、 所表示式子中的系数。 b所表示式子中的系数。 是展开式中的第k+1 k+1项 而不是第k ②通项Cnkan-kbk是展开式中的第k+1项，而不是第k项。 通项C

例1:求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的二 项式系数和第四项的系数。 解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为 T4=C73(-2x)3=-280x3, 第四项的二项式系数是C73=35; 第四项的系数是C73(-2)3=-280 . 注意某项的二项式系数和项的系数的区别。

1 3 例2:求 x 的展开式中x 的系数。 x 解：展开式的通项是

9

Tr +1 = C xr 9

9 r

r 1 r 9 2 r = ( 1) . C9 x x

r

根据题意，得 9 – 2r = 33

r=33

3 因此，x 的系数是 ( 1) C9 = 84

注意：展开式中第 r + 1 项的二项式 系数 与第 r + 1项的系数不同。

(a + b)n 在实际应用过程中， 这个公式很有作用，我们可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。

例3:计算 ( 0.997 ) 的近似值。精确到0.001) (10

解：0.997 ) = (1 0.003) (10

10

0 1 2 = c10 110 c10 19 0.003 + c10 18 0.0032 L

根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以

(0.997 )10 ≈ 1 10 × 0.003 + 45 ×1× 0.000009则(0.997 )10

≈ 1 0.030 = 0.970 ≈ 0.970.

例4:在二项式

x+ 的展开中式， 4 2 x 1

n

前三项系数成等差数列，求展开式中所 有的有理项。

分析：本例是典型的特定项的问题， 涉及到前三项和有理项，可以用通 项公式来解决。

例4:在二项式 的展开中式，前三项系数 成等差数列，求展开式中的所有有理项。 解：二项展开式的通项公式是:T k +1 = Ck n

1 x+ 4 2 x

n

(

x )n k (

1 24

x

)k = C

k n

1 x k 2

2n 3k 4

前三项的r=0,1,2, 1 1 1 得系数为:t1=1, t2= 2 C n = 2 n 由已知得:t1+t3=2t2, 通项公式:

,t3=

1 2 1 C n = n ( n 1) 4 8

1 1+ n(n 1) = n, 得n=8. 8

1 16 3k Tk +1 = C8k k x 4 2

k=0,1,2…,8

TK+1为有理项，16-3k是4的倍数，∴k=0,4,8, 有理项有三项，依次为:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2

已知( 例5. 已知(

- 22 ) xx

n

(n∈N)的展开式

中第五项的系数与第三项的系数的 比为10:1 10:1。 比为10:1。 求展开式各项系数的和； (1) 求展开式各项系数的和； 3 求展开式中含x 的项。 (2) 求展开式中含x 2 的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数 最小的项。 最小的项。

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 3 式各项系数的和； 的项。 式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2 的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

分析：要灵活、 分析：要灵活、正确的应用二项展开

式的 通项公式。 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 的系数，再由已知条件求出n 三项 的系数，再由已知条件求出n的 赋值法”求各项系数的和。 值。由“赋值法”求各项系数的和。

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 3 式各项系数的和； 的项。 式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2 的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

根据通项公式先出求含x (2) 根据通项公式先出求含x 的项是展开 式中的第几项，然后把它代入通项公式。 式中的第几项，然后把它代入通项公式。 这个二项展开式在奇数

项系数是正的， (3) 这个二项展开式在奇数项系数是正的， 偶数项系是负的， 偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝 对值最大。 对值最大。

3 2

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 式各项系数的和

解：∵(

- 22 )n展开式中的通项为 x =(- )n-k(- 22 )k=(-2)kCnk( xx xx

Tk+1=Cnk(

)n-5k

n -10 ∴T5=T4+1=24Cn4x 2 n -5 T3=T2+1=22Cn2x 2

∴第五项的系数与第三项的系数分别为 24Cn4、22Cn2;

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。(1) 求展开 10:1 式各项系数的和

由题意得： 由题意得：24Cn4∶22Cn2=10∶1 ∴n2-5n-24=0; 5n-24=0; n=- (舍 解得 n=8 或 n=-3 (舍)。 令x=1,代入( x=1,- 2 )8 x x2

所以各项系数和为1 令x=1,得(1-2)8=1,所以各项系数和为1。 x=1,得(1- =1,所以各项系数和为

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。 10:13 2的项。 的项。

(2) 求展开式中含 x

解：展开式通项为： 展开式通项为：8-5k =(- Tk+1=(-2)kc8kx 2

解得k=1 则条件 8-5k = 3 ,解得k=13 展开式中含x ∴展开式中含x 2

2

2

的项为

3 =(- T2=(-2)1C81x 2

=- =-16 x 。

3 2

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。 10:1 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例5. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

解：展开式中的第r项、第r+1项、第r+2 展开式中的第r r+1项 项的系数绝对值分别为C 项的系数绝对值分别为C8r-12r-1、 C8r2r、C8r+12r+1 若第r+1项的系数的绝对值最大， 若第r+1项的系数的绝对值最大，则有 r+1项的系数的绝对值最大 C8r-12r-1≤C8r2r C8r2r≥C8r+12r+1 5≤r≤6, 解得 5≤r≤6,

的系数与第三项的系数的比为10:1。 的系数与第三项的系数的比为10:1。 10:1 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。

2 n 已知( (n∈N)的展开式中第五项 例4. 已知( x - x2 ) (n∈N)的展开式中第五项

即系数的绝对值最大为第6 即系数的绝对值最大为第6或7项，因为 项为负的、 项为正的， 第6项为负的、第7项为正的， 所以，展开式中系数最大的项是： 所以，展开式中系数最大的项是：1 ; T7=1792 x11x

系数最小的项是T 系数最小的项

是T6=-1792 x9 。

例6 :(1)求(1-x)3(1+x)10展开式中x5的系数；1 (2)求(x+ x+2)6展开式中的常数项.

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但 可以转化为二项式展开的问题， (1)可以视为两个二项展开式相乘； (2)可以经过代数式变形转化为二项式.