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导数的习题课楚水实验学校高二数学备课组

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忆一忆

基本求导公式: 基本求导公式:α 1

(2)(x ) =αx (α为 数 常 )α '

(1 kx+b)′ = k,特 的 C′ = 0(C为 数 )( 殊 ： 常 )

(3)(a ) = a lna(a > 0,且 ≠1) ax ' x

1 (a > 0,且 ≠1) a (4)(logax) = xlna'

(5)(e ) = ex ''

x

(7)(sinx ) = cosx

(8)(cosx) = sinx

1 (6)(ln ) = x x ''

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函数的和、 函数的和、差、积、商的导数

法则1 两个函数的和 或差)的导数， 法则1: 两个函数的和(或差)的导数， 等于这两个函数的导数的和(或差), ),即 等于这两个函数的导数的和(或差),即：

[ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x).法则2: 法则2:

[Cf ( x )]′ = C f ′( x ).( C 为常数 )

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函数的和、 函数的和、差、积、商的导数 法则3 两个函数的积的导数 等于第一 积的导数， 法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函 导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以 数的导数乘以第二个函数加上第一个函数 数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以 第二个函数的导数

[ f ( x) g ( x)]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x).法则4 两个函数的商的导数 商的导数， 法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以 分母的平方, 分母的平方,即： f ( x) f ′( x) g ( x) f ( x) g ′( x)

[

其 g(x) ≠ 0 中

g ( x)

]′ =

g ( x)

2

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复合函数的求导

一般地， 若 ， 一般地， y=f(u),u=ax+b,则

y ' x = y 'u u ' x 即 y'x = y'u a :对于一般的复合函数， 对于一般的复合函数，结论也成立 。 复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数， 复合函数对自变量的导数，等于已知函数 对中间变量的导数， 对中间变量的导数，乘以中间变量对自 变量的导数 ，即 y ' = y ' u 'x u x

复合函数求导的基本步骤是： 复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导 求导——相乘 相乘——回代 分解 求导 相乘 回代

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练习

1 1 的导数. 1.求 y = x( x + + 3 ) 的导数. x x2

2 y′ = 3x 3 x2

1 的导数. 2.求 y = ( x + 1)( 1) 的导数. x 1 1 y′ = 1+ . x 2 x

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练习 3.求

y = (x +1)(x + 2)(x + 3)2

的导数. 的导数.

y′ = 3x +12x +11.4.已知函数 已知函数f(x)=x2(x-1),当x=x0时， 已知函数 ， 有 f ′( x 0 ) = f ( x 0 ) 的值。 求x0的值。

x0 = 0,或 0 = 2 2,或 0 = 2+ 2. x x

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5:求下列函数的导数： 求下列函数的导数： 求下列函数的导数

(1) y = (2 x + 3) ; (2) y = (1 3x) ; 1 2x (3) y = e ; (4) y = ln x2 3

6:求曲线 求曲线y=sin2x在点 在点P(π,0)处的切 求曲线 在点 ， ) 线方程。 线方程。

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已知P( , ), ),Q( , )是曲线y=x2 例.已知 (

-1,1), (2,4)是曲线 已知 上的两点，求与直线PQ平行的曲线 平行的曲线y=x2的 上的两点，求与直线 平行的曲线 切线方程。 切线方程。小结：求切线方程的步骤： 小结：求切线方程的步骤： (1)求出函数在点 0处的变化率 f ′( x 0 ) ,得到曲线 )求出函数在点x 在点(x 的切线的斜率。 在点 0,f(x0))的切线的斜率。 的切线的斜率 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 )根据直线方程的点斜式写出切线方程，

y f (x0 ) = f ′(x0 )(x x0 ).

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求曲线y=x2在点 在点(1,1)处的切线与 轴、直线 处的切线与x轴 求曲线 处的切线与 x=2所围城的三角形的面积。 所围城的三角形的面积。 所围城的三角形的面积

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3-x+2和点 例1.已经曲线 ：y=x .已经曲线C: 和点

A(1,2)。求在点A处的切线方程？ 。求在点 处的切线方程 处的切线方程？解：f/(x)=3x2-1, , ∴k= f/(1)=2 所求的切线方程为： ∴所求的切线方程为： y-2=2(x-1), - - 即 y=2x

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和点A(1,2) 例1.已经曲线 ：y=x3-x+2和点 .已经曲线C: 和点 求在点A处的切线方程 处的切线方程？ 求在点 处的切线方程？变式1:求过点 的切线方程 的切线方程？ 变式 ：求过点A的切线方程？解：变1:设切点为 (x0,x03-x0+2), :设切点为P( ), k= f/(x0)= 3 x02-1, , ∴切线方程为 切线方程为 y- ( x03-x0+2)=(3 x02-1)(x-x0) x 切线过点A(1,2) 又∵切线过点 ∴2-( x03-x0+2)=( 3 x02-1)(1-x0) 2 - 化简得(x 化简得 0-1)2(2 x0+1)=0, , 1 解得x 解得 0=1或x0=- 或 - 2 ①当x0=1时，所求的切线方程为：y-2=2(x-1),即y=2x 时 所求的切线方程为： x 即

1 所求的切线方程为： ②当x0=- 时，所求的切线方程为： - 2

1 y-2= - (x-1),即x+4y-9=0 - - 即 - 4

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和点A(1,2) 例1:已经曲线 ：y=x3-x+2和点 ：已经曲线C: 和点 求在点A处的切线方程 处的切线方程？ 求在点 处的切线方程？变式1:求过点 的切线方程 的切线方程？ 变式 ：求过点A的切线方程？

变式2:若曲线上一点 处的切线恰好平行于直 变式 ：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 或- 线y=11x-1,则P点坐标为 (2,8)或(- 2, -4) - , 点坐标为 ____________, - 或 切线方程为_____________________. 切线方程为 y=11x-14或y=11x+18 . 变式3:若曲线 ： 变式 ：若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意一点 上任意一点 处的切线的倾斜角都是锐角，那么a的取值范围 处的切线的倾斜角都是锐角，那么 的取值范围 0<a< 1.5 。 为__________。

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函数的单调性与导数一般地， 设函数y 一般地， 设函数y=f(x), 1)如果在某区间上f′(x)> 如果在某区间上f′(x) 那么f 1)如果在某区间上f′(x)>0,那么f(x) 为该区间

上的增函数， 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0,那么f(x) 2)如果在某区间上f′(x)< 那么f 如果在某区间上f′(x) 为该区间上的减函数。 为该区间上的减函数。yy=f(x)

yy=f(x)

o

a

b

x

o a

b

x

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应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息： 已知导函数的下列信息：

当2 < x < 3时，f '( x ) < 0; 当x > 3或x < 2时，f '( x ) > 0; 当x = 3或x = 2时，f '( x ) = 0.图象的大致形状。 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。 y A y = f ( x) B o 2 3 x