1

2

[一]椭圆的定义椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述：

平面上到两个定点的 距离的和(2a)等于 定长(大于|F1F2 |) 的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。 两焦点之间的距离叫 做焦距(2c)。

MF1 MF2 2a 2cM

F1

F2

3

满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？

[1]平面上----这是大前提 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之 和是常数 2a [3]常数 2a 要大于焦距 2c

MF MF 2 a 2 c 1 24

[二]椭圆方程推导的准备[1]建系设点 怎样选择坐标系才能使椭圆的 方程简单？ [2]列式

[3]代换[4]化简 [5]检验

5

建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a,则2a>2cyP(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a

x + c 2

2

, 0 ca , 0- O x -F 2c + + y 2F= c2 y2 1 -2

x2

yF2O

x + c + y 2 = 4a 2 - 4a2 2

x - c 2

2

+ y2 x - c + y2

a - c x + a y = a a - c2 2 2 2 2 2 22 2 2

设 a -P cx x y +y (=xa , )c 是椭圆上任意一点2

P

设F1 F=2 ,则有 F1(-c,0)、 F2(c,0) F1 F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. x y + = 1 a > b > 0 即：2 2

x

a2

b2

[二]椭圆的标准方程[1]y

x y 2 1 (a b 0) 2 a b它表示： [1]椭圆的焦点在x轴F1 0

2

2

M

F2

x

[2]焦点是F1(-C,0)、F2(C,0)[3]c2= a2 - b26

[二]椭圆的标准方程[2]y x 2 1 (a b 0) 2 a b它表示：2 2

y

F2M F1 0 x

[1]椭圆的焦点在y轴[2]焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)

[3]c2= a2 - b27

根据所学知识完成下表定 义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹y P

y F2xO

不 同 点

图

形F1O

P x

F2

F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a bF1 -c , 0 ,F2 c , 0

x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b aF1 0 , - c ,F2 0 , c

a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上

判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明 a2、b2,写出焦点坐标x y 1 25 16x2 y2 1 144 1692 2

答：在 X 轴。(-3,0)和(3,0)答：在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

x y 2 1 2 m m 1

2

2

答：在y 轴。(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。8

判断正误 椭圆m2x2+(m2+1)y2=1的焦点在y轴上。

× 到两定点距离之和等于定长的点的轨迹是 × 椭圆。x2 y 2 椭圆 2 2 1(a, b 0) 的焦点坐标为 a b

( a b , 0)2 2

×9

例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是

(-2,0), (2,0),并且经过点(5/2,-3/2),求它的标准 方程。

写出适合下列条件的椭圆的标准 方程[1] a=4,b=1,焦点在 x 轴

[2] a=4,c=2,焦点在 y 轴上[3]两个焦点的坐标是(-2,0)和(2,0)

并且经过点(2.5,-1.5) 求一个椭圆的标准方程需求几个量？ 答：两个。a、b或a、c或b、c注意：“椭圆的标准方程”是个专有名词，

就是指上述的两个方程。形式是固定的。

10

[1] 椭圆的标准方程有几个？ 答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上

答：在分母大的那个轴上。 [3] Ax2 By2 C 什么时候表示椭圆？答：A、B、C同号且AB不相等时。 [4]求一个椭圆的标准方程需求几个量？

答：两个。a、 b或a、c或b、c

11

例 平面内有两个定点的距离是8,写出到这 两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。 解：[1]判断：①和是常数；②常数大于两个 定点之间的距离。故，点的轨迹是椭圆。 [2]取过两个定点的直线做 x 轴，它的 线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系， 从而保证方程是标准方程。

[3]根据已知求出a、c,再推出a、b写 出椭圆的标准方程。12

练习：x y [1]椭圆 1上一点P到一个 25 16焦2 2

点的距离等于3,则它到另一个焦点的距离是( )

A.5

B.7

C.8

D.10

13

练习：[2] 已知三角形ABC的一边 BC 长为6,周 变式1:已知B(-3,0),C(3,0),CA,BC,AB的 长为16,求顶点A的轨迹方程 长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。

x y 答： 1 ( y 0) 变式2:在△ ABC中， B(-3,0),C(3,0), 25 16 sin B sin C 2sin A ,求A点的轨迹方程。

2

2

14

练习：[3]将

x y 1 25 16

2

2

所表示的椭圆绕原

点旋转90度，所得轨迹的方程是什么？

y x 答： 1 25 1615

2

2

例题与练习的求椭圆方程的方法叫做“定义法”操作程序:[1]根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆[2]象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所 在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为 另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是 标准方程。[3]设椭圆标准方程，即用待定系数法 [4]写出椭圆的标准方程16

作业

17