弹塑性波与冲击动力学-第二章

时间:2025-04-02

第二章 弹塑性波基本方程 2-1 物质坐标和空间坐标

2-2 时间微商与波速 2-3 物质坐标描述的杆中纵波控制方程

2-4 特征线与特征线上的相容关系 2-5 空间坐标描述的控制方程与特征线 2-6 波阵面上的守恒方程

2-1 物质坐标和空间坐标连续介质力学的基本出发点之一,是不从微观上考虑物体的真实物质结构,而只是在宏观上把物体看成是连续不断 的质点所组成的系统,即把物体看成是质点的连续集合。每 个质点在空间上占有一定的空间位置,不同的质点在不同的 时间占有不同的空间位置。

构形:一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。

如何描述质点运动? 定义坐标系 (1)质点命名(为了区别不同的质点),如 Xi(a,b,c)

(2)描述质点所占据的空间位置xi。i=1,一维;i=3,三维(3)时间坐标t

在连续介质力学中,往往采用两种观点和方法来研究 介质的运动: Lagrange方法 Euler方法。

相应地,研究杆的运动时,要先选定坐标系统,一般 对应有两种坐标系: Lagrange坐标(即物质坐标,随着介质质点流动来考 察) Euler坐标(即空间坐标,固定空间位置来考察)。

Lagrange描述(方法):

随着介质中固定的质点来观察物质的运动,所研究的是 在给定的质点上各物理量随时间的变化,以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化,这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述(方法) ,又叫随体法。Euler描述(方法): 在固定的空间点上来观察物质的运动,所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化,以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化,这种描述介质运动的方法称为Euler描述(方法) ,又叫当地法。

Lagrange坐标:

为了识别运动中物体的一个质点,以一组数(a,b,c) 作为其标记,不同的质点以不同的数来(a,b,c)表示,这 组数(a,b,c)就称为Lagrange坐标(或物质坐标、随体 坐标)。Lagrange表示法:t=t0 时位置来表示,(a0 , b0 , c0 ) Euler坐标: 为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置,以 一组固定于空间的坐标 a1 , a2 , a3 表示该位置,这组坐标称 为Euler坐标(或空间坐标)

两种方法的举例说明:城市公共交通部门采用两种方法统计客运量:

①在每一辆公交车上安排记录员,记录每辆车在不同时 刻(站点)上下车人数(采用Lagrange法,即随体法);②在每一站点设记录员,记录不同时刻经过该站点的车 辆上下车人数,(采用Euler法,即当地法)。

以长杆中一维运动为例:X

质点命名(质点在参考时

刻的空间位置坐标):X 质点任一时刻t 在空间所占位置: x

质点X 物理含义:质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系 中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻,或其它适 当的时刻;参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标 系一致,也可以不同,选取原则取决于研究问题的方便性。

X

表示法一:介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不 同的空间位置x ,即x是X 和t 的函数 (2-1-1) x x ( X , t)

如果固定X,上式给出了质点X如何随时间运动;如果固 定t,上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说, 在给定时刻,一个质点只能占有一个空间位置,而一个空间 位置也只能有一个质点。

X

x x ( X , t) 表示法二:反过来只要运动是连续单值的,(2-1-1)式可反 演为 X X ( x, t ) (2-1-2) 即X是x和t 的函数。

(2-1-1)式和(2-1-2)式是描述一维长杆中介质运动的两 种形式,二者是可是互换的。

在一维情况下,应用Lagrange方法,可将物理量Ψ表达 为质点X和时间t 的函数:Ψ = F (X , t )。自变量X即为 Lagrange坐标(物质坐标)。 应用Euler方法,可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t 的函数:Ψ = f (x, t )。自变量x即为Euler坐标(空间坐标)。 显然,对于同一物理量Ψ,有 Ψ = F (X , t ) = f (x, t ) (2-1-3)

X X ( x, t )

F ( X , t ) f ( x, t )

描述同一物理量Ψ,既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述,二者还可以进行转换。

(1)物质坐标系中描述的物理量 述的物理量由(2-1-2)、(2-1-3)式,有

空间坐标系中描

f ( x, t ) F ( X , t ) F [ X ( x, t ), t ](2)空间坐标系中描述的物理量 F ( X , t ) f ( x, t ) 述的物理量 由(2-1-1)、(2-1-3)式=有

(2-1-4) 物质坐标系中描

F ( X , t ) f ( x, t ) f [ x( X , t ), t ] x x ( X , t)

(2-1-5)

2-2 时间微商与波速三种微商: 空间微商(Euler微商) 物质微商(Lagrange微商或随体微商) 随波微商 两种波速:

空间波速(Euler波速) 物质波速(Lagrange波速)

空间微商(Euler微商):在给定空间位置x上,物理量Ψ对 时间t的变化率,即 f x, t t x t x

(2-2-1)

物质微商(Lagrange微商或随体微商):随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率,即d F ( X , t ) dt t t X X

(2-2-2)

d F ( X , t ) t X dt t X

对于(2-2-2)式应用复合函数求微商的连锁法则,有 f [ x( X , t ), t ] d F ( X , t )

dt t t X X f [ x( X , t ), t ]] f [ x( X , t ), t ] x t x x t t X f ( x, t ) f ( x, t ) x t x x t t X

的运动速度

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