第二章 弹塑性波基本方程 2-1 物质坐标和空间坐标

2-2 时间微商与波速 2-3 物质坐标描述的杆中纵波控制方程

2-4 特征线与特征线上的相容关系 2-5 空间坐标描述的控制方程与特征线 2-6 波阵面上的守恒方程

2-1 物质坐标和空间坐标连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断 的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每 个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的 时间占有不同的空间位置。

构形：一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。

如何描述质点运动？ 定义坐标系 (1)质点命名(为了区别不同的质点),如 Xi(a,b,c)

(2)描述质点所占据的空间位置xi。i=1,一维；i=3,三维(3)时间坐标t

在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究 介质的运动： Lagrange方法 Euler方法。

相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般 对应有两种坐标系： Lagrange坐标(即物质坐标，随着介质质点流动来考 察) Euler坐标(即空间坐标，固定空间位置来考察)。

Lagrange描述(方法):

随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是 在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述(方法) ,又叫随体法。Euler描述(方法): 在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述(方法) ,又叫当地法。

Lagrange坐标：

为了识别运动中物体的一个质点，以一组数(a,b,c) 作为其标记，不同的质点以不同的数来(a,b,c)表示，这 组数(a,b,c)就称为Lagrange坐标(或物质坐标、随体 坐标)。Lagrange表示法：t=t0 时位置来表示，(a0 , b0 , c0 ) Euler坐标： 为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以 一组固定于空间的坐标 a1 , a2 , a3 表示该位置，这组坐标称 为Euler坐标(或空间坐标)

两种方法的举例说明：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：

①在每一辆公交车上安排记录员，记录每辆车在不同时 刻(站点)上下车人数(采用Lagrange法，即随体法);②在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车 辆上下车人数，(采用Euler法，即当地法)。

以长杆中一维运动为例：X

质点命名(质点在参考时

刻的空间位置坐标):X 质点任一时刻t 在空间所占位置： x

质点X 物理含义：质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系 中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适 当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标 系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。

X

表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不 同的空间位置x ,即x是X 和t 的函数 (2-1-1) x x ( X , t)

如果固定X,上式给出了质点X如何随时间运动；如果固 定t,上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说， 在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间 位置也只能有一个质点。

X

x x ( X , t) 表示法二：反过来只要运动是连续单值的，(2-1-1)式可反 演为 X X ( x, t ) (2-1-2) 即X是x和t 的函数。

(2-1-1)式和(2-1-2)式是描述一维长杆中介质运动的两 种形式，二者是可是互换的。

在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达 为质点X和时间t 的函数：Ψ = F (X , t )。自变量X即为 Lagrange坐标(物质坐标)。 应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t 的函数：Ψ = f (x, t )。自变量x即为Euler坐标(空间坐标)。 显然，对于同一物理量Ψ,有 Ψ = F (X , t ) = f (x, t ) (2-1-3)

X X ( x, t )

F ( X , t ) f ( x, t )

描述同一物理量Ψ,既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。

(1)物质坐标系中描述的物理量 述的物理量由(2-1-2)、(2-1-3)式，有

空间坐标系中描

f ( x, t ) F ( X , t ) F [ X ( x, t ), t ](2)空间坐标系中描述的物理量 F ( X , t ) f ( x, t ) 述的物理量 由(2-1-1)、(2-1-3)式=有

(2-1-4) 物质坐标系中描

F ( X , t ) f ( x, t ) f [ x( X , t ), t ] x x ( X , t)

(2-1-5)

2-2 时间微商与波速三种微商： 空间微商(Euler微商) 物质微商(Lagrange微商或随体微商) 随波微商 两种波速：

空间波速(Euler波速) 物质波速(Lagrange波速)

空间微商(Euler微商):在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间t的变化率，即 f x, t t x t x

(2-2-1)

物质微商(Lagrange微商或随体微商):随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即d F ( X , t ) dt t t X X

(2-2-2)

d F ( X , t ) t X dt t X

对于(2-2-2)式应用复合函数求微商的连锁法则，有 f [ x( X , t ), t ] d F ( X , t )

dt t t X X f [ x( X , t ), t ]] f [ x( X , t ), t ] x t x x t t X f ( x, t ) f ( x, t ) x t x x t t X

的运动速度

x t X

质点X 空间位置对时间的物质微商，即质点Xdx x v t X dt d dt t v x

(2-2-3) (2-2-4)

d v dt t x

物理量Ψ为质点速度时，(2-2-4)式变为质点加速度的表达式 ： v dv v v a v (2-2-5) x t X dt t (2-2-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显 然在定常场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场 中该项为零。与此相对应，(2-2-5)式中，等式右边第一项通 常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。

物质波速(Lagrange波速):在物质坐标中来观察应力波的 传播，设在t 时刻波阵面传播到质点X处，以 X (t ) 表示波 阵面在物质坐标中的传播规律，则物质波速(Lagrange波速 )可表示为： dX C (t ) (2-2-6) dt W

空间波速(Euler波速):在空间坐标中来观察应力波的传播 x (t ) 表示 ，设在t时刻波阵面传播到空间点x处，以波阵面在空间坐标中的传播规律，则空间波速(Euler波速) 可表示为： dx c (t ) (2-2-7) dt W

物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的 描述，但由于选择的坐标不同，其数值不一定相同，除非波 阵面前方介质是静止且无变形的。

随波微商：随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根 据坐标系的不同，有两种表达式，即 d (2-2-8) 在空间坐标系中有: c dt W t x x t

在物质坐标系中有：

d (2-2-9) C d t W t X X t

(2-2-9)式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x,该式转变为： dx x x C dt W t X X t

(2-2-10)

一维长杆中X与x 的相互关系

设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X,随后某时刻 该质点到达空间位置x,则位移为u,显然有 x X u,故 dx x x C dt W t X X t ε为工程应变 。则(2-2-10)式可简化为： x X u 1 X t X X t

c v C (1 )

(2-2-11)

可以看出，

只有当初始质点速度和初始应变为零时，空 间波速和物质波速值相同。

关于空间波速和物质波速的关系 c v C (1 )

,由

于通常是取变形(运动)前质点空间位置作为物质坐标，如

果波阵面在物质坐标中的传播速度为C,当考虑到物质坐标本身的变形(运动)时，则相对于波阵面前方质点的相对空 间波速应是 C (1 ) 。这相当于流体力学中的局部声速。再 考虑到质点本身也以速度v在运动，则波阵面在空间坐标中的 绝对空间波速显然是 c v C (1 ) (右传波，如果是左 传波则为 c v C (1 ) ),这就是该式的物理意义。

2-3 物质坐标描述的杆中纵波控制方程2-3-1 基本假定(1)平截面假定，即假定杆在变形时横截面保持为平面， 沿截面只有均布的轴向应力。 按照这一假定，杆中各运动参量(位移、质点速度、应 力等)都只是X和t的函数，应力波传播的问题就简化为一维 问题了。但是，这一假定只有在长杆的横向尺寸与应力波的 波长相比很小时才近似成立。