高等数学方法(下)科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 ,是由必然王国通向自由王国的桥梁。 数学方法是数学的灵魂1

参

考

书

张晓宁、李安昌：

高等数学方法中国矿业大学出版社，2000.2

目录第一讲 空间解析几何方法及 研究多元函数微分学概念的方法 第二讲 多元函数微分法及其应用 第三讲 二重及三重积分的计算法 第四讲 线面积分的计算法 第五讲 级数的收敛、求和及展开法 第六讲 几类常微分方程的求解法 第七讲 高等数学中的方法综述

注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。3

第一讲 空间解析几何方法及 研究多元函数微分学概念的方法一元推 广

多元 (以二元为主)

基本方法：前后类比 , 区别异同 , 化繁为简 4-1 空间解析几何方法 ( P203 ) 一. 方法指导 空间形式

相结合的方法 数量关系

坐标法; 向量法。4

1. 向量代数方法

以向量为工具, 用代数方法研究 几何问题 模 , 方向余弦, 单位向量加法 ,数乘 , 点积 , 叉积 , 混合积 (P205) 平行, 垂直, 夹角, 共线, 共面, 投影 (P204 及P206 )

优点: 与坐标系选择无关, 推理简捷方便

向量的概念 向量的运算 向量间的关系

向量法的应用

讨论几何方面的问题在多元函数微积分学中的应用 基本方程 ( P207 ) 相互关系 ( P208 )5

2. 空间平面与直线

3. 相关的几个问题(P209~P211)

A1 x B1 y C1 z D1 0 的平面束方程 (1) 过直线 L : A2 x B2 y C 2 z D2 0

, 为不全为 0 的任意实数(2)点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 :A x+B y+C z+D = 0 M0 的距离：

M 1M 0 n d n

d

nM16

例. 点 (2,1, 0) 到平面

的距离是

2

10年考研

说明：求两平行平面之间的距离，其中

解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面 的距离即为所求的距离。

上取一点 P0 x0 , y0 , z0 , A x0 B y0 C z0 D2 P0 到 2 的距离 d 为: d A2 B 2 C 2在

平面 1 到 2的距离为: d

D2 D1 A B C2 2 28

(3) 点

到直线

M 0 ( x0 , y0 , z0 )d

M 0 M1 s 的距离为 d s 1 m n p2 2 2

i x1 x0

s (m , n , p) M 1 ( x1 , y1 , z1 ) j k y1 y0 z1 z0

如图所示

n p M 0 M 1 s s M 0 M 1 sin

m

d M 0 M 1 sin 9

(4) 两异面直线间的距离

x x1 y y1 z z1 直线 L1: , P ( x1 , y1 , z1 ) m1 n1 p1 1 直线 L :x x2 y y2 z z2 , 2 m2 n2 p2 P2 ( x2 , y2 , z2 )之间的距离P 1s1

P2

s210

推论: 两直线

共面

4、向量的混合积 (1) 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量记作

( a b ) c 为 a , b , c 的混合积 。几何意义

a b c

a b

ca

b

以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其底面积 A a b , 高 h c故平行六面体体积为

V Ah a b c

( a b ) c11

(2) 混合积的坐标表示

设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z )i j k ax az ax a y a y az , a b ax a y az , bx b y b x bz b y bz bx b y bz ax a y ax az a y az a b c ( a b ) c b b c x b b c y b b x y x z y z

cz

ax a y az bx b y bz cx c y cz12

(3) 性质 (1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是

a b c 0(2) 轮换对称性 :

[ a b c ] [ b c a ] [ c a b](可用三阶行列式推出)

ab

c13

4. 空间曲面和曲线 ( P211-P214 ) 旋转曲面; 柱面 ; 二次曲面(截痕法) ; 投影曲线 ; 圆柱螺旋线。 二. 实例分析

( a b) c [ a b c ]

( 考研1995; P506题51 ) 例1. 设 ( a b ) c 2 , 则 4 ( a b ) ( b c ) ( c a ) 提示: ( a b ) ( b c ) ( c a )

(a b a c b c ) ( c a ) (a b ) c ( b c ) a 2 ( a b ) c 4

例2. 已知一四面体的顶点求该四面体体积 。

解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4为棱的平行六面体体积的 故

A4 A3 A1 A2

[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]1 6

x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1

例3. 证明四点 A(1,1,1) , B( 4 , 5 , 6 ), C ( 2 , 3 , 3 ) ,

D(10 ,15 ,17 ) 共面。解: 因

BC

[ AB AC AD ]

3 1 9

5 4 2 2 0 14 16

A

D

故 A , B , C , D 四点共面 .

例4. 设 a , b是非零向量 , 且 b 1 , ( a , b ) ,试求 4 a xb a lim x 0 x 2 2 a xb a a xb a 解: x( a x b a ) x 2 2 ( a x b ) ( a x b ) a a 2 a b x b x x( a x b a ) x( a x b a ) 2 a cos 4 x 2 a cos 4 2 原式 = a xb a 2 2 a17

x y z 例5. 证明平面 1 被三个坐标面所截得的 a b c 1 2 2 三角形面积为 S a b b 2 c 2 c 2 a 2 . ( P216 例4 ) 2证: 如图所示

i j k 1 1 S AB BC a b 0 2 2 0 b c 1 bc , ac , ab 2 1 2 2 b c a 2 c 2 a 2b 2 2

C

zB

o A x

y

例6. 设 与直线 (A) 相交于一点 ;

则直线

A(B) 重合 ;

(C) 平行但不重合 ; (D) 异面。 ( 考研1998 ) 提示: 设三点 M i ( ai , bi , ci ) ( i 1, 2 , 3 ) ,由已知条件

OM i ( i 1, 2 , 3 ) 不共面 , 因此点 M i ( i 1, 2 , 3 ) 构成 M1 三角

形. 二直线分别过三角形的顶点

M 1 , M 3 且平行于对边 , 因此必交于一点 . M 2 ,

M319

练 习 x 3y 2z 1 0 (1) 给定直线 L : 及平面 2 x y 10 z 3 0

: 4 x 2 y z 2 0 , 则直线 L(A) 平行于 ; (C) 垂直于 ; 提示： (B) 在 上 ; (D) 与 斜交。

C(考研1995)

S ( 28,14, 7) 7(4, 2,1)

n (4, 2,1)

练 习(2) 设一平面经过原点及点 ( 6, –3, 2 ) , 且与平面

2 x y z 4 垂直 , 则此平面方程为

x 2y 0提示：所求平面

( 考研1996 )

n 6 3 2 ( 1, 2, 0) 2 1 121

i

j

k