三自由度并联机器人动力学及仿真(2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　机械传动　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年26

按6个变量Wx、Wy、Wz、Cx、Cy、Cz展开式(3)成3

个等式,重新排列得

ω=JdVC(7)2maL;τmc是动平台和被动连杆集中于Qi点的一半2

合并(7)和VC的同等变换VC=IVC(I为单位矩

阵)得[ω;VC]=JyVC,并代入式(6)

β0=JJyVC=JbVC

行,即为雅可比矩阵。

β=J3VC 质量的惯性力和惯性力矩以及施加在动平台上的外力和外力矩到驱动关节的映射;mb表示驱动连杆的质量;ma表示被动连杆的质量;mc表示动平台的质量;τ可设m=mamc。mc用式子表示如下2T-1Tτ[m(-ac)+JdIO(-εmc=(J3)C)-TTJdω×IOω+f+Jdn](8)其中,Jb是6×3的矩阵,让J3(3×3)表示Jb的1、2、3(9)(14)

运用虚功原理求动平台所受外力和外力矩到驱动

T关节的映射关系[2]64-90。让τ=[τ1,τ2,τ3]表示驱

Tβ=[Δβββ动力矩,Δ1,Δ2,Δ3]表示和驱动关节相联系

T

μ=[Δμx,Δμy,Δμ的虚位移,Δz]表示动平台瞬时旋其中,矢量ac表示动平台相对基坐标系的加速度;矢量εC表示动平台相对基坐标系的角加速度;IO表示动平台(包括被动连杆另一半质量)相对基坐标系的转T动惯量。如果旋转矩阵用ORC表示,则IO=ORCIOCRC,IC是一个3×3对角矩阵,对角元素为

mcr2+mar2;IYY=cr2+mar2;244

ZZ=mcr+a2

))IXX=μ=ωΔt,Δc=[Δ转轴的虚角位移,即Δcx,Δcy,Δcz]Δt。根据虚功表示动平台中心的虚位移,即Δc=VC原理可写成下式TTτΔβ-fTΔμ=0(10)c-nΔ

μ=JdΔc,Δβ=J3Δc,由式(9)和式(7)得Δ

式(11),约掉任意量Δc后,Tτ-f-JTJ3dn=0T1 Tτ2=IPβ2+(J3)-1ε[mac+JTd(IOC+(11)

(12)ω×IOω)-f-JTR(mb+dn]+2

cos1T-1ma)gcosβm0=02+(J3)

cos 则Tτ=(J3)-1(fTd2　用牛顿欧拉法建立动力学模型下面运用牛顿欧拉动力学方程和达朗贝尔原理求

动力学模型。

按照惯例,为了简化动力学模型,作以下假设[4]

(1)不考虑关节的摩擦;

(2)被动连杆的质量被平均分为两部分,集中盂(15)对vC=J3-1β和 ω=JdvC进行求导可得aC和εC(-1) (),ε(16)aC=vC=JdaC+dtdtC将式(16)代入式(15),合并同类项,驱动力矩的表-1J3β+球铰Gi点和动平台的Qi点。

由3条支链对于驱动关节点Pi的力矩平衡方程

6Mp,i=0可得下式

6Mp,11β1,1

达式还可写成τ=M(β)β+C(β,β)β+G(β) (17)3　虚拟样机及动力学仿真)+τR(mb+mc-2β6Mp,2=τ2+IP(-1,2

6Mp,β1,cosβ1,10

T-1(ma+mc)0=0(13)ma)gcosβ1,2-(J3)2cosβ1,其中,6Mp,i是施加在Pi的总力矩,i=1～3;τi是驱

动力矩,i=1～3;IP是驱动连杆和被动连杆集中于Gi

点的一半质量对驱动关节的转动惯量,IP=2mbL+3为了既反映并联机器人的动力学特征又能将问题尽量简化,本文采用ADAMS/View的主工具箱进行建模和动力学仿真[5-6]。首先用主工具箱的几何建模工具集建立了比较简单的3-RSR并联机器人的实体模型。实体模型的主要结构参数有4个:(如图1)上、下平台的尺寸R、r和驱动连杆、被动连杆的长度L、l,可将其进行参数化,因为结构参数的变化会引起工作空间的变化,可根据实际需要确定结构参数,也可进行优化设计。在这里只是为了验证动力学数学模型的正确性和精确性,设R=0.12m;L=0.12m;r=0.1m;l=0.1m。