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6.2 典型的一阶微分方程. 6.2.1 可分离变量的微分方程一、可分离变量方程dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0转化

解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x

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可分离变量的微分方程.

g( y )dy f ( x )dx4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx

解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,

g( y )dy f ( x )dx

分离变量法

设函数G ( y ) 和F ( x ) 是依次为 g ( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.

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二、典型例题例1.求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分

dy 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y或

得即

ln y x C13

每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.

令C e

C1

ln y x ln C3

( C 为任意常数 )

( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

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x yd x ( x 2 1 ) d y 0 例2. 解初值问题 y(0) 1 dy x dx 解: 分离变量得 2 y 1 x两边积分得即

y x 2 1 C ( C 为任意常数 ) y x 1 12

由初始条件得 C = 1, 故所求特解为

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例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 u x y 1, 则故有 即 解得

1 u sin 2 u

tan u x C

所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )

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例4 求方程 f ( xy ) ydx g( xy ) xdy 0 通解.解 令u xy ,

则 du xdy ydx , du ydx f ( u) ydx g ( u) x 0, x u [ f ( u) g ( u)] dx g ( u)du 0, x dx g ( u) du 0, x u[ f ( u) g ( u)] g ( u) 通解为 ln | x | du C . u[ f ( u) g( u)]

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例 5 设一物体的温度为 100 C , 将其放置在空气温 度为 20 C 的环境中冷却. 试求物体温度随时间 t 的 变化规律. 解 设物体的温度 T 与时间 t 的函数关系为T T ( t ), 根据冷却定律: 物体温度的变化率 与物体和当时空气温度之差成正比, 建立该问题的数学模型:

其中 k ( k 0)为比例常数. 下面来求上述初值问题 的解.

dT k (T 20) dt T |t 0 100

(1)( 2)

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dT kdt ; 分离变量, 得 T 20 1 dT kdt , 两边积分 T 20 得 ln | T 20 | kt C1 ( 其中 C1为任意常数 ),即 T 20 e kt C 1

Ce kt ( 其中 C e C1 ) 从而 T 20 Ce kt , 再将条件 (2) 代入, 得 C 100 20 80, 于是, 所求规律为 T 20 80e kt . e e注：物体冷却的数学模型在多个领域有着广泛的应 用. 例如, 警方破案时, 法医要根据尸体当时的温 度推断这个人死亡时间, 就可以利用这个模型来计 算解决.

C 1 kt

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例 6 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水

面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为

dV Q 0.62 S 2 gh , dt流量系数 孔口截面面积 重力加速度

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S 1 cm ,2

h

dV 0.62 2 gh dt ,

(1)

设在微小的时间间隔 [t , t t ],

h h dh o

r

100 cm

2 水面的高度由h降至 h h, 则 dV r dh,

r 1002 (100 h)2 200h h2 , dV ( 200h h )dh,2

( 2)

( 200h h2 )dh 0.62 2 gh dt , 比较(1)和(2)得:

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( 200h h )dh 0.62 2 gh dt ,2

即为未知函数的微分方程.

可分离变量

dt ( 200 h h3 )dh, 0.62 2 g 400 3 2 5 t ( h h ) C, 0.62 2 g 3 5 14 5 10 , h |t 0 100, C 0.62 2 g 15 所求规律为 t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2 g

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例7 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1% CO 2, 为了降低车间内空气中 CO 2 的 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03% CO 2的新鲜空气, 同时以同样的 的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO 2的含量为 x (t )% 在 [t , t dt ]内,

CO 2 的通入量 2000 dt 0.03, CO 2 的排出量 2000 dt x( t ),

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CO 2 的改变量 CO 2 的通入量 CO 2 的排出量

12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 61 t 6

,1 t 6

x |t 0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07ex |t 6 0.03 0.07e 1 0.056,6分钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到 0.056%.

,

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(sin 2 x ) cos 2 x tan 2 x , 当 0 x 1 例 8 已知 f 时, 求 f ( x ). y sin 2 x , 则 cos 2 x 1 2 sin 2 x 1 2 y , 解设

sin 2 x sin 2 x y . tan x 2 2 cos x 1 sin x 1 y y 所以原方程变为 f ( y ) 1 2 y , 1 y ( y ) 2 y 1 . 即 f 1 y 1 所以 f ( y ) 2 y 1 y dy y 2 ln(1 y ) C , 2

故 f ( x ) [ x 2 ln(1 x )] C (0 x 1).

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三、小结(1)分离变量; 1.分离变量法步骤: (2)两端积分-------隐式通解. 2. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P275,(6.1) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例5 , 例 6 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例7 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.

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思考题dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2

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思考题解答dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2

x sin dx ,

y 2 2 sin 2为所求解.

dy

y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2

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练 习 题一、求下列微分方程的通解: 1、sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ; x y e x )dx ( e x y e y )dy 0 ; 2、( e 2 dy x 3 0. 3、( y 1) dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0 cos ydx (1 e x ) sin ydy 0 , y x 0 2、

; 4 . 4

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三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒 2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .

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练习题答案一、1、tan x tan y C ; 2、( e x 1)( e y 1) C ; 3、4( y 1) 3 3 x 4 C . x 二、1、 2 cos y cos x ; 2、e 1 2 2 cos y . 三、 v 269.3 厘米/秒. 四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 x 轴 , y 轴 指向对 k h 2 1 3 岸,则所求航线为 x ( y y ) . a 2 3