中南大学 线性代数

Chpate 1r1.初5矩等 阵等初矩阵

aMtrixa n dedertmninat

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一、初

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矩等阵概念的矩阵 的初变等换矩阵的是一种本运基，算矩阵 的等初换是变矩阵一的种基运本，算应用 广泛. 广用 定泛义 由单矩阵位 E经 过一次初变换等得到的方 阵称初等矩阵. 阵称为为初矩等. 三阵初等变种对应换三着种初方等阵. 三初等变换种应着三种对等初方阵对调行两或列两 1.;对调 行或两两；列 乘某 行某列； 或 2 .以 k ≠ 0 数某乘或行某； 列 . 3数以k 乘某 行()列到加另 一(行)列去上. 某行( 上乘.去

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1、对调两行 两或列 两行， 对 E 调中 i ,第j 行，两即( r i r j,)初得方阵 等 1 O 1 L0 1第 ← i行 1 (E i, j) = M O M 1 第j 行 L10 ← 1 O 1

用

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m初等矩阶 Em阵 ( i, j) 乘左A = (ij am)n,得× a11 a1 2La 1n M M M a aj2 La j n 第←i 行 j1 M M m (i E , j) =A M aai 2 Lina ←第 j行 1 Mi M M am a2L an m 1m 相当 对于矩阵 施A第行种一等初行变换 : A把的 第i 与第行j 行调 对 (ir r j ).

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似， 类 地以n 阶等阵 E( i j, ) 矩 右 A初 矩乘 , n阵 a1 L a11 L a1ji a2 1La 2j aL2i AE n (i , ) j= L L L a m1 aLjmL a imL 1a n L2a nL Lamn 相当对矩于 A阵 行第一种初等施变换列 ： A 把第的i 列 与第 j列对调 c( i jc .

)

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2、数以 k 0 ≠某行乘或列某以k 数 0≠乘位单阵矩的 i第行(ri k× ),初等 得阵矩E ( ( ik) . 1 ) O 1 E i( k () =) k 1 O 1

第i← 行以

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E(i(k)) 左矩 A 乘， 阵 m 1a1 1a2L 1n a M M ME m( ( k )i ) A = k a i 1ai k2 kLian ←i 第行 M M M ama 2 aLmn 1m 当 以 于 数相 乘k的A i(行r× )k 第； i 乘阵 ， 结似 ， n 地 以E类( (k)) i右矩 A 其果当 以 相 数于k 乘A的 i列 (ci ×k). 第

3

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、以数k≠ 乘0行某()加到列一行 (列)另去上以k 乘 E 第的 j加到第行 i 行 上(ri + rjk) [或以 k 乘 E 的 i 第加列到 第j列上 c (j+ k ci) ,1 O ← 第 行 i1 L k (E i (j k ))= O ← 第 j行 1 O 1

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以 E(ijk)( 左) 矩A 乘 阵 ，m a1 1 M a +ka j1 1iM Em (i (jk ))A = a j 1M a m 1 1a 2 aM i 2 ka + 2 Mj j2a Mm a2 M L ain + ajn M a jL n M Lam n L 1n

把Aa第j 行 k加 第 行i r +(k r )j . 乘的 到 上

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似i, 类 地 E 以ij((k))右 矩 A其 果 当乘 阵 ，结 相于

n 把的 A列 i k 第j 列 加cj( +k ic . 第)乘 到上AE n i(j (k) ) a11 La1 i+ ka1 j L a 1jL a1 n 2a1L 2a + ik2 j a La2j L a2 n = L LL L aL aim +k mjaL a m jLa n m 1m

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、二初等矩的阵应用定 理 1理定1 设A 是一个 m× 矩阵，n A对 行施一× 矩 ，阵次 等行变初， 换次初等行换变相，当在于A 的左乘以边相应 m的 阶等矩阵；对 A初 施行一初等列变次，换相当 阶于等初阵矩； 施行次一等列变换，初 初阶矩阵. 在 A等的右边 乘以应的相 n阶 初矩阵等.初等换 变初矩等阵等逆变换初初等逆矩阵

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逆的换变其是身本 变换， r i r j逆变换的其是本，身 则 E( i ,j ) 1 = E( i , j )

1 ;换 r变 i×k 的 变换为逆 ri ,×k 1 1则E ( i( k)) E=( ( )i; ) 变k换 r i k× rj 逆变的为换 ri× ( k ) rj, 则E ij( (k )) 1 =E ij ( ( ))k .

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理2 为定可方阵，逆定理2 A为可设逆方，则阵在存有个初限等 阵 方P1 ,P 2,, PLl ,使 A= P1 P L2P l. Q证 ~ AE, E故 经限次初等变换有可变 A,

即存在有个限等初阵 P1方 , 2P L,, Pl ,使1 PP 2LP rErP+ 1LP l= A即 =A 1PP 2LPl .论 m×n矩A~ B的分 要 件 :存 推 阵 充 条 必是在 m阶 逆 阵P 及n阶 逆 Q阵使 PQ= B 可 ,方 .A可 方

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利初用变换求逆阵的方等： 利法用初变等换逆阵求方的：

当法A ≠ 时，由 A0 = 1PP2 L P l有,Pl 1 P l 1 P1 L A 1 =E, 及 1P P Ll EP= A , 11 l 1 11 1∴

PlP L P 1

=( lP 1 P 1lL 1P1 A P l P1 l 1L 1 P1 E) 1 1 l1 1

11( AE) =E(A 1 )行施等初变换，行 对即n × n2矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A变成 时，原E来的E 变成就 1A

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. 例1 设 A1= 2 3 1 解 ( A E = ) 3

223 12 , 求 A 1 . 43 2 130 0 2 1 0 10 3 04 0 1 1 321 0 0 r+ rr 2 r21 12 0 2 5 1 20 r 3 3r1 0 2 6 30 1r 3 r 2

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r1+ 2rr3 2r 1 0 21 1 0 r 2 3r 1 0 2 5 2 10 0 0 1 1 1 1r 2 5 r 31 0 0 3 2 r ÷ 2) 2 ( 2 036 5 ( r 3÷ 1 )0 1 1 1 1 0 0 1r1 2r3r2 r533 1 0 0 1 1 2 2 3 r 2 ÷ )2 ( 33 5 5 ∴ A 0 = 1 0 3 3 . 1 22 2 r3 ÷ 1 ( )2 1 00 11 1 1 1

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的法， 利方用初行变等换逆求 阵的方法还，用于可 矩阵求A1 B Q即.A( A ) B =(E A B) 1

1 A ()B初等行换变EA 1B

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例2 求矩 X 阵,使 1 2 =A 2 2 3 4 解

X A=B ,其 3中 52 1 B = ,3 1 .

4 3 3 若 A 可,则逆 X= A B 1 可.,逆

12 3 2 5 (A B ) = 2 1 2 31 34 3 4 3

r

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2 r21r3 3r1 1r +r

23 2 51 2 0 2 5 1 9 0 2 6 2 21 10 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3 0 3 2 01 4 6 0 2 0 00 1 1 3r r2r3 12r r32 53rr

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1 23r

r 52r

03 3 2 1 0 4 6 0 0 2 00 1 1 3 2 2 ÷ 2r) 1 0 0 3( 0 1 0 2 3 , 3r÷ 1) ( 001 3 1

∴

2 3 X= 2 3 . 1 3