导数及其应用测试卷

导数及其应用测试卷答案（2011.11）

一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

BDBDC DCBDA CA

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、2; 14、(7, ) 15、 1 16、2n 1 2

三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(14分)已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x 2

3与x 1时都取得极值.

(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间.

(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) c2恒成立,求c的取值范围

解:(1)f(x) x3 ax2 bx c,f'(x) 3x2 2ax b 由f'( 2) 12

9 4

3a b 0,f'(1) 3 2a b 0得a 1

32,b 2

f'(x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1), 函数f(x)的单调区间如下表:

所以函数f(x)的递增区间是( , )与(1, ),递减区间是( 2

33,1);

(2)f(x) x3 1

2x2 2x c,x [ 1,2],当x 2222

3时,f( 3) 27 c

为极大值,而f(2) 2 c,则f(2) 2 c为最大值,要使f(x) c2,x [ 1,2]恒成立,

则只需要c2 f(2) 2 c,得c 1,或c 2 ∴c的取值范围是( , 1) (2, ).

18、(14分)设a R,函数f(x) ax3 3x2.

(1)若x 2是函数y f(x)的极值点,求a的值;

(2)若函数g(x) f(x) f (x)，x [0，2],在x 0处取得最大值,求a的取值范围.

解:(1)f (x) 3ax2 6x 3x(ax 2).