导数及其应用测试卷

因为x 2是函数y f(x)的极值点,所以f (2) 0,即6(2a 2) 0,因此a 1.

经验证,当a 1时,x 2是函数y f(x)的极值点.

(2)由题设,g(x) ax 3(a 1)x 6x.g(0) 0

当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时,ax 3(a 1)x 6x 0对一切x 0,2 都成立, 3232

即a 3x 63x 6 对一切都成立.令,x 0,2 ,则a (x) min x 0,2 (x) x2 3xx2 3x

3(x 2)2 63x 6 0由 (x) ,可知在x 0,2 上单调递减, (x) 222(x 3x)x 3x

所以 (x) min (2) 66 , 故a的取值范围是 5 5

a(a R). x19、(14分)已知函数f(x) lnx

(1)判断f(x)在定义域上的单调性;

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为2,求a的值.

解:(1)由题意得f(x)的定义域为(0, ),f (x) 1ax a 2. xx2x

①当a 0时,f'(x) 0,故f(x)在(0, )上为增函数;

②当a 0时,由f'(x) 0得x a;由f'(x) 0得x a;由f'(x) 0得x a;

∴f(x)在(0, a]上为减函数;在( a, )上为增函数.

故当a 0时,f(x)在(0, )上是增函数;当a 0时,f(x)在(0, a]上是减函数,在( a, )上增函数.

(2)∵f (x) x a,x 0.由(1)可知: 2x

①当a 0时,f(x)在(0, )上为增函数,f(x)min f(1) a 2,得a 2,矛盾!

②当0 a 1时,即a 1时,f(x)在(0, )上也是增函数,

f(x)min f 1 a 2,∴a 2(舍去).

③当1 a e时,即 e a 1时,f(x)在[1, a]上是减函数,在( a,e]上是增函数,

∴f(x)min f a ln( a) 1 2,得a e(舍去).

④当 a e时,即a e时,f(x)在[1,e]上是减函数,有f(x)min f e 1

a 2,∴a e. e