计算物理导论

傅立叶变换

傅立叶变换傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换

傅立叶变换简介傅里叶生平1768年生于法国 年生于法国 1807年提出“任何周期 年提出“ 年提出 信号都可用正弦函数级数 表示” 表示” 1829年狄里赫利第一个 年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 年首次发表在“ 年首次发表在 的分析理论” 的分析理论”一书中

傅立叶变换简介 傅立叶的两个最主要的贡献—— 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和” 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 傅里叶的第一个主要 论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点

傅立叶变换简介傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系. 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系.频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析， 个术语来自于光学 通过对频谱的分析，可以了解周期函 通过对频谱的分析 数和非周期函数的一些基本性质. 数和非周期函数的一些基本性质 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位， 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。 与理论问题的计算。 理论问题： 理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。 的表示就对应着一对傅立叶变换。 实验数据处理： 实验数据处理：

在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的. 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的.例如 在初等数学中， 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算. 简单的加法和减法运算.在工程数学里积分变换能够将分 析运算(如微分、积分)转化为代数运算， 析运算(如微分、积分)转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一.积分变换的理论方法不仅在数学的诸 为重要的方法之一.积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用

. 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用.

傅立叶变换简介傅里叶变换的三种定义式在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式， 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果， 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 转换，特给出如下关系式： 1.第一种定义式 第一种定义式

1 +∞ F(ω) = f (x)e iωxdx, 1 ∫ ∞ 2π

1 +∞ f (x) = F(ω)eiωxdω ∫ ∞ 1 2π

傅立叶变换简介2.第二种定义式 第二种定义式

F2 (ω ) = ∫

+∞

∞

f ( x )e

iω x

dx,

1 +∞ iω x f ( x) = ∫ ∞ F2 (ω )e dω 2πf ( x) = ∫ F3 (ω )ei2πω x dω ∞ +∞

3.第三种定义式 第三种定义式

F3 (ω ) = ∫

+∞

∞

f (t )e

i2πω x

dx,

三者之间的关系为

1 1 ω F1 (ω ) = F2 (ω ) = F3 ( ) 2π 2π 2π

傅立叶变换简介三种定义可统一用下述变换对形式描述

F (ω ) = F [ f ( x)] 1 f ( x) = F [ F (ω )]特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义， 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如

1 1 , 2π 2π

傅立叶变换简介1 +∞ F(ω) = f (x)e iωxdx, 1 ∫ ∞ 2π 1 +∞ f (x) = F(ω)eiωxdω ∫ ∞ 1 2π

F (ω ) = F [ f ( x)] f ( x) = F 1[ F (ω )]

傅立叶变换简介傅立叶变换的性质(假定 ( )的积分存在) 傅立叶变换的性质(假定f(x)的积分存在) 1. 线性

若 [ f1(x)] = F(ω) , F[ f2(x)] = F (ω) F 1 2则 [c f1(x) +c2 f2(x)] =c F(ω) +c2F (ω) F 1 1 1 2证明： 证明：

c ,c2为 数 常 1

1 ∞ F[c f1(x) +c2 f2(x)] = [c f1(x) +c2 f2(x)] iωxdx e 1 ∫ ∞ 1 π 2 = c F (ω) +c2F (ω) 1 1 21 ∞ F(ω) = f1(x)e iωxdx 2 ∫∞ π F(ω) = F[ f (x)]

傅立叶变换简介2.平移性(延迟) 平移性(延迟) 平移性

F[ f (x x0)] = e iωx0 F(ω)证明： 证明：

1 ∞ F[ f (x x0)] = f (x x0) iωxdx e ∫ ∞ 2 π 作 换 y = x x0 ,则 代 1 ∞ F[ f (x x0)] = f (y) iω( y+x0 )dy ∫ ∞ e π 2 1 ∞ x iω 0 =e f (y) iωydy ∫ ∞ e π 2 = e iωx0 F(ω)

傅立叶变换简介3.相似性(扩展) 相似性(扩展) 相似性

1 ω F[ f (ax)] = F( ) a a证明： 证明：

1 ∞ F[ f (ax)] = f (ax) iωxdx e ∫ ∞ 2 π 作 换 y = ax ,则 代 1 F[ f (ax)] = π 2

∫

∞

∞

f (y) e

i

ωa

y

1 dy a

i y 1 1 ∞ = f (y) a dy ∫ ∞ e a 2 π 1 ω = F( ) a a

ω

傅立叶变换简介4.复共轭 复共轭

F[ f (x)] = F ( ) ω证明： 证明：

1 ∞ F[ f (x)] = f (x) iωxdx e ∫ ∞ 2 π ∞ 1 = [∫ f (x) iωxdx] e ∞ 2 π 1 ∞ =[ f (x) i( ω)xdx]

∫ ∞ e 2 π = F ( ) ω

傅立叶变换简介4.导数变换 导数变换

F[ f ′(x)] =iω (ω) F证明： 证明：

1 ∞ F[ f ′(x)] = f ′(x) iωxdx e ∫ ∞ 2 π 1 1 ∞ iω ∞ x = [ f (x)e ] ∞ f (x)[e iωx ]′dx 2 2 ∫∞ π π 根 傅 叶 分 理 有 limf (x) = 0 据 立 积 定 ，x→ ∞ ±

1 ′(x)] = F[ f π 2 =iω (ω) F

∫

∞

∞

f (x)[e iωx ]′dx

离散傅立叶变换

离散傅立叶变换为了在计算机上实现傅立叶变换， 为了在计算机上实现傅立叶变换，需要对傅立叶变换进行离散 化处理。 化处理。也就是把

F (ω ) = ∫ f (t )e ∞

+∞

i 2πωt

dt , f (t ) = ∫ F (ω )e i 2πωt dω ∞

+∞

离散化。这种离散化和实际的物理过程相对应： 离散化。这种离散化和实际的物理过程相对应：我们的对信号的采 集总是在有限的时间内进行有限次的操作。考虑时变信号f(t),对它 集总是在有限的时间内进行有限次的操作。考虑时变信号 ， 的测量在[0,t]时间内进行，也就是说在此区间内f(t)不为零。为简 的测量在 时间内进行，也就是说在此区间内 不为零。 时间内进行 不为零 单起见， 为采样频率， 单起见，假设采样是等间距的 = T /( N 1) 1 / τ 。 为采样频率，其最 τ 小值为1/T。这样，频率也变成离散的，间隔为 = 2π / T 小值为 。这样，频率也变成离散的， 。 υ 这样可把积分变成一个离散求和的形式： 这样可把积分变成一个离散求和的形式：

离散傅立叶变换1 N 1 fn = ∑0 Fk exp( i 2π nk / N ) N n= 1 N 1 FK = ∑0 f n exp( i 2π nk / N ) N n=

其中 f n = f (t = nτ ), Fk = F (ω = kυ ) 。注意傅立叶系数的 数目和采样点的数目相等，都是 个 数目和采样点的数目相等，都是N个。

快速傅立叶变换

快速傅立叶变换快速傅立叶变换的基本思想是重新排列采样序列的 顺序并以分级方式进行求和。这种思想早在 顺序并以分级方式进行求和。这种思想早在1886年就 年就 提出， 由Gauss提出，但并未受到关注。直到 提出 但并未受到关注。直到1965年 年 Cooley和Tukey才正式提出这种算法并把其在计算 Cooley和Tukey才正式提出这种算法并把其在计算 机上实现。 机上实现。 下面简单介绍这种算法的思想