导数定义

x2

例1．y f(x)

ax b x2

思路：y f(x)

ax b

∴ a

x 1

在x 1处可导，则a b x 1

x 1

在x 1处可导，必连续limf(x) 1 limf(x) a b f(1) 1

x 1x 1x 1

b 1

y ylim 2 lim a ∴ a 2 b 1 x 0 x x 0 x

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

f(a h2) f(a)f(a 3h) f(a h)（1）lim； （2）lim

h 0 h 02hh

分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）lim

h 0

a

f(a 3h) f(a h)f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)

lim h 02h2h

f(a 3h) f(a)f(a) f(a h)

lim

h 0h 02h2h3f(a 3h) f(a)1f(a h) f(a)

lim lim

h 0h 023h2 h31

f'(a) f'(a) 2b22 lim

f(a h2) f(a) f(a h2) f(a)（2）lim lim h 2h 0h 0hh

f(a h2) f(a) lim limh f'(a) 0 02h 0h 0h

例3．观察(x

n

) nxn 1，(sinx) cosx，(cosx) sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导

的偶函数的导函数是奇函数。

f(x x) f(x)

f (x)

x 0 x

f( x x) f( x)f(x x) f(x)

lim f ( x) lim

x 0 x 0 x x

f(x x) f(x)

f (x) lim

x 0

解：若

f(x)为偶函数 f( x) f(x) 令lim

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：

f [f( x)] f ( x) ( x) f (x)

已知函数

f(x)在定义域R上可导，设点P是函数y f(x)的图象上距离原点O最近的点.