原不等式等价于1 令f(t)=t-1-lnt， ∵

1

lnt t 1 t

f (t) 1

1

当t (1, )时，有f (t) 0，∴函数f(t)在t (1, )递增 t

即t-1<lnt

∴f(t)>f(1) 另令g(t)

lnt 1

1t 1

，则有g (t) 2 0 tt

∴g(t)在(1, )上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt综上得

1

1 t

1x 11 ln x 1xx

（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得

11123n11 ln ln ln 1 23n12n 12n 1

11111即得 ln 1

23n2n 1

利用导数求和

例7．利用导数求和：

（1）（2）

。

n

；

分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解：（1）当x=1时，

)' nxn 1，可联想到它们是

；

当x≠1时，

，

两边都是关于x的函数，求导得

即

（2）∵

两边都是关于x的函数，求导得

，

。