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∴AH=DF ∴△ABH≌△DEF ∴∠BHA=∠EFD 又∠EFD=∠BCA

因此，在三角形AHC中，外角BHA等于∠BCA 这是不可能的 ∴BC=EF 又AB=DE

夹角也相等（命题1） ∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF

命题6：在平行四边形中，对边相等且对角线二等分其面积（注：《几何原本》原文中无平行四边形的定义

定义: 在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

）

证明：∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCD ∵AC∥BD

∴∠ACB=∠CBD（命题4） 又BC=BC

∴△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠BCD 又∵∠CBD=∠ACB

AC=AC

∴△ABD≌△ACD ∴∠BAC=∠CDB

∴平行四边形ABCD中，对边对角彼此相等 （（1）（2）性质得证）

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同样地，∵△ABC≌△DCB

∴对角线BC平分平行四边形ACBD的面积

命题7：在同底且在相同两平行线之间的平行四边形面积相等

证明：设ABCD，EBCF是平行四边形，它们在同底BC。且在相同的平行线AF，BC之间 ∵ABCD是平行四边形 ∴AD=BC

同理，EF=BC,AD=EF ∴AE=DF 又AB=DC FDC=∠EAB ∴△EAB≌△FDC EB=FC

∴面积△EAB-△DGE=△FDC-△DGE ∴面积ABGD=EGCF 同加上△GBC

∴平行四边形ABCD面积等于平行四边形

EBCF

命题8：如果过任意一条直线上一点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一条直线上 证明：如果BD与BC不共线 假设BE和CB共线 ∵AB在直线CBE之上

∴∠ABC+∠ABE=180°（命题2） 又∠ABC+∠ABD=180°

∴∠CBA+∠ABE=∠CBA+∠ABD