椭圆焦点三角形

1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导

（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2

称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导

解：在 PF1F2中，设 F1PF2 ，PF1 r1，PF2 r2，由余弦定理得

PF1 PF2 F1F2

cos

2PF1 PF2

2

2

2

r12 r22 (2c)2

2r1

r2

2

(r1 r2)2 2r

1r2 4c2(2a)2 2rr12 4c

2r1r22rr12

4(a2 c2) 2r1r22b2 r1r2

2r1r2r1r2

2

∴rr12cos 2b rr12

图1

2b2即r1r2 ，

1 cos

∴S PF1F2

sin 112b2

r1r2sin sin b2=b2tan．

1 cos 2221 cos

x2y2

1上有一点M，例1．焦点为F1,F2的椭圆 若MF1 MF2 0，求 MF1F2

4924的面积．

解：∵MF1 MF2 0， ∴MF1 MF2， ∴ S MF1F2 b2tan

2

24tan

90

24． 2

x2y2

例2．在椭圆的2 2 1(a b 0)中，F1,F2是它的两个焦点，B是短轴的

ab

一个端点，M是椭圆上异于顶点的点，求证： F1BF2 F1MF2．

证明：如图2，设M的纵坐标为y0， ∵S BF1F2

11

F1F2 b F1F2 y0 S F1MF2， 22