椭圆焦点三角形

F1BF2 FMF

b2tan12， 22 FBF FMF即tan12 tan12，

2211

又 F1BF2, F1MF2都是锐角， 2211

故 F1BF2 F1MF2 22b2tan

从而有 F1BF2 F1MF2．

2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．

（1）定义：如图3，双曲线上一点P与双曲线的两个焦点F1,F2构成的三角形PF1F2称之为双曲线焦点三角形．

（2）面积公式推导：

解：在 PF1F2中，设 F1PF2 ，PF1 r1，PF2 r2，由余弦定理得

PF1 PF2 F1F2cos

2PF1 PF2

2

2

2

r12 r22 (2c)2

2r1 r2

2

(r1 r2)2 2r1r2 4c2(2a)2 2rr 4c12

2r1r22r1r2

r1r2 2(c a)r1r2 2b

r1r2r1r2

222

图3

2

∴rr12cos rr12 2b

2b2即r1r2 ，

1 cos

∴S PF1F2

sin 112b2

r1r2sin sin b2=b2cot．

1 cos 2221 cos

例3、已知双曲线16x2 9y2 144，设F1,F2是双曲线得两个焦点．点P在双曲线上，PF1 PF2 32，求 F1PF2的大小．

x2y2

1， 解：双曲线的标准方程为

916

∴S PF1F2

11

PF1 PF2sin F1PF2 32sin F1PF2 16sin F1PF2， 22