李培超等:饱和多孔介质流固耦合渗流的数学模型

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Rij,j+Fi=0

联立式(2),式(19)有

c

RpDij,j+(Uij),j+Fi=0

(19)

; Vr为流体相对于骨架颗粒的速度,其表达式为 Vr=#

j

VjD,其中,下标j代表流体相, VjD为j相流体Dar-粒运动的绝对速度,根据定义有 Vs=cy速度,根据Darcy定律,我们有

KKrj

ý(pj-QjgD)j

(20)

将式(16)代入上式,我们便可以得到以基本未知量Wx,Wy,Wz,U,p为变量的平衡方程:

5EV+Lý2Wx+U=05EV

+Lý2Wy+U=0VjD=-

(21)

(28)

(K+L)

其中K为多孔介质的绝对渗透率张量,Krj为j相流体的相对渗透率。

对于本文,因为假定为单相流体(饱合多孔介

质),所以有Sj=1,进而有

Vr=-

ý(p-QfgD)(29)

(K+L)(22)

5EV2(K+L)+LýWz+U+fz=0(23)其中,fz=[(1-U)Qs+UQw]#g。对于各向同性弹性体,有

K=,G=L=,

(1+M)(1-2M)2(1+M)

则K+L=,代入式(21)~式(23)有

(1-2M)

5EV+Gý2Wx+U=0(24)

(1-2M)5EV2+GýWy+U(1-2M)=0(25)5EV2+GýWz+U+fz=0(26)

(1-2M)式(24)~式(26)即应力场方程,它对应于Biot[4]的三维固结方程(即其论文中的式(4.1)。

多孔介质骨架的连续性方程为

5[Qs(1-U)]

=0(30)

5t

ý#[Q) Vs]+s(1-U

孔隙流体(不考虑源汇项)的连续性方程为:

5[QfU]

=0ý#[QVf]+ fU

化简以上两式,得到:

(31)

Q)ý# Vs+(1-U)s(1-U

5Qs-Q=0s5t5t

(32)5Qf=0+Qf(33)

QVr+QVs+UfUý# fUý#

5 渗流场方程

由于渗流发生在可变形的多孔介质中,因而不但有流体具有一定的渗流速度,而且骨架颗粒也有一定的运动速度,所以流体质点的速度为

Vf= Vr+ Vs

(27)

将上两式两边分别除以Qs、Qf,并相加得到:Uý# Vr+ý#V s+

sf5Q5Q

+=0

Qs5tQf5t

(34)

通常而言,流体在等温条件下的状态方程可以

采用下式表达:

fs