【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识(4)

(4)前n项和法：Sn＝An＋Bn或Sn＝

2

na1＋an2

.

2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．

以题试法

1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn；

(2)证明：数列{an}是等差数列． 解：(1)设S2

n＝An＋Bn＋C(A≠0)， －2＝A＋B＋C，则

0＝4A＋2B＋C， 6＝9A＋3B＋C，

解得A＝2，B＝－4，C＝0.故S2

n＝2n－4n. (2)证明：∵当n＝1时，a1＝S1＝－2.

当n≥2时，a2

2

n＝Sn－Sn－1＝2n－4n－[2(n－1)－4(n－1)]＝4n－6. ∴a*

n＝4n－6(n∈N)．an＋1－an＝4， ∴数列{an}是等差数列.

典题导入

[例2] (2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． [自主解答] (1)设数列{an}的公差为d，由题意知

2a1＋2d＝8， 2a解得

a1＝2，

1＋4d＝12，

d＝2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得Sa1＋ann2＋2nn＝

n2

2

＝n(n＋1)．

因为aS2

1，ak，k＋2成等比数列，所以ak＝a1Sk＋2. 从而(2k)2

＝2(k＋2)(k＋3)，即k2

－5k－

6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.

由题悟法