4．答：．连接BE，证△ABE∽△ADC图(2)同理可证，结论仍成立；

5．答：．(1)连接EC，可证∠DFE=∠DCE，又

∠DCE=∠BAE=∠CAE，从而△AEF∽△FED；(2)EF

=

6．答：．(1)作直径AC'，连接BC'，证∠PAC'=90即可；(2)△ABP∽△CAP，理由略；(3)PA

10．(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线，

∴EB BC．

又∵AD BC，∴AD∥BE．

易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFCFEFCF∴ ． DGCGAGCG

BFEF∴ ． DGAG

∵G是AD的中点，

∴DG AG．

∴BF EF．

(2)证明：连结AO，AB．

∵BC是O的直径，∴ BAC 90°．

在Rt△BAE中，由(1)，知F是斜边BE的中点，

∴AF FB EF．

∴ FBA FAB．

又∵OA OB，∴ ABO BAO．

∵BE是O的切线，∴ EBO 90°．

∵ EBO FBA ABO FAB BAO FAO 90°，

∴PA是O的切线．

(3)解：过点F作FH AD于点H．

∵BD AD，FH AD，

∴FH∥BC．

由(1)，知 FBA BAF，∴BF AF．

由已知，有BF FG，∴AF FG，即△AFG是等腰三角形．

∵FH AD，∴AH GH．

∵DG AG，

HG1∴DG 2HG，即 ． DG2

∵FH∥BD，BF∥AD， FBD 90°，

∴四边形BDHF是矩形，BD FH．

∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG．

FHFGHGBDFGHG1∴ ． ，即CDCGDGCDCGDG2C ∵

O的半径长为

∴BC

∴BDBD1 ．

CDBC BD2

解得BD

∴BD FH

FGHG11 ，∴FG CG． CGDG22

∴CF 3FG．

在Rt△FBC中，∵CF 3FG，BF FG， ∵由勾股定理，得CF BF BC．

222

∴(3FG)2 FG2 2．

解得FG 3(负值舍去)．

∴FG 3．

［或取CG的中点H，连结DH，则CG 2HG．易证△AFC≌△DHC， ∴FG HG，故CG 2FG，CF 3FG．

由GD∥FB，易知△CDG∽△CBF，∴CDCG2FG2 ．

CBCF3FG32

，解得BD 3又在Rt△

CFB中，由勾股定理，得(3FG)2 FG2 2，

∴FG 3(舍去负值)．］