由（1）知B1B AB，B1B BC，且AB BC B，∴B1B 平面ABC． ∴三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，

∴三棱柱ABC A1B1C1的体积为VABC A1B1C1 S ABC BB1 72． 故平面APQ将三棱柱ABC A1B1C1分成上、下两部分的体积 之比为72 2013

． 205

（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz， 则A 3,0,0 ，A1 3,0,12 ，P 0,0,3 ，Q 0,4,7 ，

∴ AP ( 3,0,3)， AQ1

( 3,4, 5)， ∴cos AP , AQ1 AP

AQ1

APAQ 1， 1

5∵异面直线所成角的范围为

0,

2

，∴直线AP与AQ

1

1所成角的余弦值为5

． 20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）

解：（1

） cb2a2 c2a a2 a2

1 12 12，∴a2 2b2……①

曲线过 ，则11

a2 2b2 1……②

由①②解得 a ， 则椭圆方程为x2 y2 1． b 1

2 x2(2)联立方程 2

2 y 1，消去y整理得：3x2 4mx 2m2

2 0

x y m 0则 16m2 12(2m2 2) 8 m2

3

0，解得 m

x1 x2

4m 43，yy m1 2 x1 x2 2m3 2m 2m

3

，

即AB的中点为

2m 3,m

3

54m2m25m25

又∵AB的中点不在x y 内，∴

99999

2

2

解得，m 1或m 1……④

由③④得： m 1或1 m

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）

（1）解：∵f(x) ex x，∴f (x) ex 1．令f (x) 0，得x 0．

∴当x 0时，f x 0，当x 0时，f x 0．

∴函数f(x) e x在区间 ,0 上单调递减，在区间 0, 上单调递增．

x

∴当x 0时，f(x)有最小值1．

（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e x 1，即1 x e．

k kk*

令x （n N,k 1,2, ,n 1），则0 1 en，

nn

x

x

k

k n k

∴ 1 e e(k 1,2, ,n 1)． n

n

n

n k n k即 ． ∵ e(k 1,2, ,n 1) 1,

n n

1 2 n 1 n (n 1) (n 2) 2 1

∴ e e e e 1． n n n n

∵e

(n 1)

nn

nnnn

e

(n 2)

1 e n1e

e e 1 ，

1 e 11 e 1e 1

2

1

e 1 2 n 1 n

∴ ．

e 1 n n n n

nnnn