2.6 指数与指数函数

时间：2025-04-02

指数与指数函数

要点梳理1. 根式的概念根式的概念

忆一忆知识要点

符号表示

备注

如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n次方根. n为奇数时,正数的奇次方根是正数;负数的奇次方根是负数. n为偶数时,正数的偶次方根有两个且互为相反数.n

n>1,且 n∈N*.

零的n次方根是零

n a (a 0) 负数没有偶次方根

要点梳理2. 两个重要公式

忆一忆知识要点

公式 (1) ( a ) a.n n

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.公式 (2)n

a , n 2k 1, k N , a = | a |, n 2k , k N .

要点梳理3. 幂的有关概念幂指数正整数指数

忆一忆知识要点

a a a a n

定义

条件

零指数负整数指数正分数指数负分数指数

a 10

n个a

n N ,a R

a 0n N ,a 0 m

a 1n a n

aa m n

m n

a>0,m,n N*,n>1a>0,m,n N*,n>1

1 m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义.

要点梳理

忆一忆知识要点

4.有理数指数幂的运算性质: (a>0, b>0, r, s Q )

(1) a a ar sr s

r srs

(2) (a ) a ;

(3) (ab) a b .r r

5.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质：时, 当x>0 当x<0时, a >1 y y>1. 0<y<1. 0< a <1 y(0,1)(0,1)

图象 y=1

y=1

o x o x 1.定义域： ( , ) 当x<0时, 性 0<y<1. (0, ) 当x>0时, 2. 值域： y>1. (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 3.过点质 4.在R上是增函数在R上是减函数

要点梳理y

忆一忆知识要点

6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系y bx y ax

y cx y dx

x=1

0 b a 1 d c图象从下到上,底数逐渐变大.

题型一21

指数式与根式的计算问题

【例 1】计算下列各式的值.

27 ) 3 + (0.002) 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0; (1) ( 81 (2) -( 3-1)0- 9-4 5; 5+2

(a 2 0, b 0) . 1 1 27 ) 2 + ( 1 ) 1 -1- 10 +1 2 解: (1)原式= ( 27 32 10 (a b ) a b 1 2 3 + ( 500 ) 1-2- 5-2+1 解: (1)原式= ( 8 ) 3 27 ) + ( 1 ) 2 - 105-2 2 解: (1)原式= ( 8 +1 500 1 8 2 500 5-2 8 ) 2 + 500 1 -10( 5+2)+1 2 3 = ( 8 32 = ( 27 ) 3+ 500 2 1-10( 5+2)+1 8 = ( 27 ) + 500 2 -10( 5+2)+1 4 27 167 =4+10 5-10 5-20+1=-167. 9 . =94 +10 5-10 5-20+1=- 167 2 = 5-2-1- 5-2 2 (2)原式=99+10 5-10 5-20+1=-99 . (2)原式= 5-2-1- 5-2 (3)1 4 1 2 4 1 3 1 3

a 3b2 3 ab2

=( 5-2)-1-( 5-2)=-1. =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.

(3)

ab1 4

3 23 1 2 4

ab 1 3

2 1 3

(a 3 b 2 a b ) aba b2 1 3 1 3

1 3

2 1 3 2

(a b ) a b

a b 探究提高

3 1 1 1 2 6 3

1 1 2 1 3 3

ab 1 .

根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

变式训练 1计算下列各式： (1) 1.5 ( 7 )0 80.25 4 2 ( 3 2 3)6 ( 2 ) 3 ; 3 6 (2) 1 32

a 8a b2 3 3 2 3

4 3

1 3

a 2 ab 14b 1 1 1 1 1 2 ) 3 1 (23 ) 4 2 4 (2 3 3 2 )6 ( 2 ) 3 解: (1)原式= (

(1 2 3 b ) 3 a ( a 0, b 0) . a

3 1 4 4

(2 3 )=2+4×27=110.2 3

指数函数的图象及应用 xax 【例 2】(1)函数 y= (0<a<1)图象的大致形状是 ( D ) |x|题型二

x ax,x>0 ax,x>0 a ,x>0 . 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y= xa= x x 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y= = |x| -a ,x<0 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y= |x| =-a ,x<0 |x| -ax,x<0

xax x xax

. .

当 x>0 时，所以函数在(0,+∞)上是减函数；当 x>0 时，所以函数在(0,+∞)上是减函数；当 x>0 时，所以函数在(0,+∞)上是减函数；当 x<0 时，函数在(-∞,0)上是增函数，当 x<0 时，函数在(-∞,0)上是增函数，当 x<0 时，函数在(-∞,0)上是增函数，故选 D.

题型二

指数函数的图象及应用

【例 2】 (2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、

0 a 1, b 0 三、四象限,则 a, b 的取值范围是__________________.(2)函数 y=a +b-1 的图象经过第二、三、四象限，大致图象如图. 所以函数必为减函数. 所以函数必为减函数. 所以函数必为减函数. 故 0<a<1. 故 0<a<1. 故 0<a<1. 又当 x=0 时，y<0, 又当 x=0 时，y<0, 又当0 x=0 时，y<0, 即 a0 +b-1<0, ∴b<0. 即 a0+b-1<0, ∴b<0. 即 a +b-1<0, ∴b<0.x

题型二x

指数函数的图象及应用

1 【例 2】(3)方程 2 =2-x 的解的个数是________.方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,

分别作出这两个函数图象(如图).

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.

探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象. (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.

变式训练 2

e +e (1)(2009 山东)函数 y= x -x的图象大致为( A ) e -e

-x

e e 0 x 0 e x e x e2 x 1 1 2 y x x e2 x 1 e2 x 1 e ex

函数 y 在(0, +∞)上恒大于1且单调递减. 又函数 y 是奇函数，故只有A正确.

变式训练 2