高等数学

第六章 一元微积分的应用第 三 节 微积分在物理学中的应用

一、变力沿直线作功二、液体的静压力

三、连续函数的平均值

高等数学

一、变力沿直线作功设变力 f ( x) : 其方向沿 x 轴正向, 大小随 x 值 的变化而变化. 变力 f ( x) 推动物体, 从点 x a 处沿 x 轴正向运动到点 点 x b 处 (a b) 所作的功为:y

x (a, b], x 0.

当 x 很小时, 可视物体在区间

f (x)O

[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值x x x b x

f ( x) 按常力 作功, 其值为

a

W f ( x) x.

于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.

高等数学

由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做y

y f (x)

的功为:积分区间: x [a, b].微分元素: d W f ( x) d x.b b

WO ab x

变力作功的几何表示

功的计算 : W d W f ( x) d x.a a

高等数学

例1

直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,为9.8 105 ( N / m 2 ) 的某种气体. 若保持温度不变,

求推动活塞前进 0.5 (m) 使气体压缩所作的功 .

解9.8 105O

建立坐标系如图所示 .活塞的面积为 S (0.1) 2 .

1

x

根据波义耳 ( Boyle ) 定律,

恒温下, 气体的压强 P 与体积V

?O

的乘积为常数 :1

x 0 .5

x

PV k . ( k 为常数)

当活塞移动到x 处时, 压缩后气体的体积为: V (1 x) S .

高等数学

所以,

K k k , P( x) 2 (1 x) S (1 x) (0.1) VS (0.1) 2

从而在 x 处作用在活塞上的压力为 k F ( x) P S . 1 x

?O

取 x 0, 在 [ x, x x] 上, 视压1

x 0 .5 x x

x

力 F ( x) 不变, 则在该小区间上压缩气

体作的功为 W F ( x) x .

由已知条件, 当 x 0 时, 气体的压强 P(0) 9.8 105 , 故k PVx 0

9.8 10 5 (0.1) 2 9800 .

高等数学

于是, 所求的使气体体积压缩所作的功为:W 0 .5 0

F ( x) d x

0 .5 0

9800 dx 1 x0. 5 0

9800 ( ln(1 x))

9800 ln 2 2.13 104 (焦耳).

kdx 微分元素 : d W F ( x) d x 1 xk 9800

高等数学

例2

半径为10 (m) 的半球形的水池内装满了水,

求将池内的水全部抽干所作的功.

解O

建立坐标系如图所示 .

球在 x y 平面上的截面为一半圆 ,y P( x, y)

x x x 10 x

其方程为x 2 y 2 102.

x [0, 10], x 0, 则微分元素为d W ( y d x) x2

比重 体积

位移

在 [ x, x x] 上, 薄片的 体积用以 y 2为底面积, d x 为

x (102 x 2 ) d .

高的圆柱体的体积代替 .

— 水的比重 1000 (kg/m3 ).

高等数学

从而, 将水池中的水全部抽干所作的功为W d W x (102 x 2 ) d x0 0 10 10

1 4 ( 50 x x ) 42

10 0

2500

7854 103 (kg m).

高等数学

二、液体的静压力回顾有

关的知识:( 1 ) 液体对物体的压力 总是垂直于物体的表面 , . (2) 在液面下深 h 处, 液体的压强为:

P h

( 是液体的比重).

(3) 液体在其内部任意一点处, 各个方向上产生的

压强相同 .(4) 在压强 P 常数时, 压力 压强 受力面积.

高等数学

例3

某水渠中 有一等腰梯形闸门直立挡水, 尺寸如图所示. , 求当水面齐渠道顶端时 闸门所承受的压力 , .3m O y x 2m x 1 .5 1

解y x

建立坐标系如图所示 . x [0, 2], x 0, 则有

2 x y 1 2 1 .5 1 1 x 即有 y ( 3 ). 2 2

2m

故图中阴影部分面积为： S d S 2 y d xx (3 ) d x. 2

2 2-x

x

y 1

高等数学

积分区间：x [0, 2].x 微分元素: d P ( x) d S (3 ) x d x. 2 x 计算压力: P (3 ) x d x 4700 ( kg ). 0 22

高等数学

三、连续函数的平均值离散变量 u 的 n 个数值的平均值为u1 u 2 u n u . n

如果函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续取值, 如何计算 函数 f ( x) 在区间[a, b] 上的平均值?

高等数学

设 f ( x) R([a, b]).将区间[a, b] 等分为n 个小区间: [ xi 1 , xi ] (i 1, 2, , n), b a 每个小区间的长度均为 . 端点也可 n 1 n 取 i 为区间[ xi 1 , xi ] 的中点, 则 f ( i ) 可作为函数 n i 1

f ( x) 在区间[a, b] 上的平均值的近似值. 我们将函数 f ( x) 在 [a, b] 上的平均值定义为1 n y lim f ( i ). n n i 1

这里能与积分联系起来吗 ?

高等数学

1 n 将表达式 y lim f ( i ) 变形: n n i 1 1 n b a y lim f ( i ) n n b a i 1 1 n lim f ( i ) xi n b a i 11 b a f ( x) d x. b a

[ xi 1 , xi ] 的长度 b a xi n

f ( x) R([a, b]), 则 f ( x) 在[a, b] 上的平均值为

y

b a

f ( x) d x b a .

高等数学

若 f ( x) C ([a, b]), 则

y

b a

f ( x) d x b a .

由闭区间上连续函数的性质可知:至少存在一点 [a, b] , 使得

f ( ) b a

b a

f ( x) d x b a .

积分中值定理

f ( x) d x f ( )(b a).

F ( )(b a) F (b) F (a)

微分中值定理

高等数学

例3

求作自由落体运动的物体在 0 秒到T 秒内的平均速度.已知自由落体在时刻 t 的速度为 v g t.

解

故所求的平均速度为

v

T 0

1 1 2 gt T 0 T 2

g t dt

T 0

1 gT . 2