第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题

【学习目标】 能利用轴对称和平移的知识解决路径 最短的问题。 【学习重、难点】 重难点：能利用轴对称和平移的知识 解决路径最短的问题。

【预习导学】1、自学1:自学课本P85-86页“问题1”,掌握在直线上找一点到直线同侧两点距离和最短的问题，完成下列填空。10分钟

①点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上打到一个点，使得这个点到 点A、点B的距离的和最短。 解：连接AB交直线l于点P,则根据“两点之间， 线段最短”,可得AP+BP最短。则点P即为所求。 ②如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人 到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 分析：如果我们能把点B移到l的另一侧B’处，同时对直线l上的任一点C,都保持A P l B

CB=CB’,就把问题转化为第①题的情况了。如果直线l上的任一点到B、B’的距离都相 等，则说明直线l是线段BB’的 垂直平分线 ，则点B与点B’关于直线l对称。

解：作点B关于直线l的对称点B’,连接点A、B’交直线l于点 P, 则根据“两点之间，线段最短”,可得AP+BP最短。 理由如下：在直线l上取任意一点P’(不与点P重合),连 接AP、BP、B’P,在△APB’中，根据两边之和大于第三边， 可得AB’<AP+PB’,而因为点B与点B’关于直线l对称，则PB= PB’,所以AP+PB=AP+PB’=AB’,则AP+PB<AP+PB’。

A B

P'

P B'

l

【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟探究1 (造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是 平行的直线，桥要与河垂直。)分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进 一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将AM沿与河岸垂直的方向 平移，点M移动到点N,点A移动到点A’,则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB,当A’B在一条直线上 时，根据“两点之间，线段最短”,可得A’N+NB的值最小，则路径AMNB最短。

解：在直线a上取任意一点M’,作M’N’⊥b于点N’,平移AM,使点 M’移动点N’的位置，点A移动到点A’的位置，连接A’B交直线b于点 N,过点N作MN⊥a于点M,则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M’为直线a上任意一点(不与点M重合), ∵线段A’N’是线段AM平移得到的 ∴AA’=M’N’,A’N’=AM ∴AM’+M’N’+BN’=A’N’+AA’+BN’ ∵MN平行AA’且MN=AA’ ∴MN可以看作是AA’经过平移得到的 ∴A’N=AM ∴AM+NB=A’N+NB ∵根据两点之间线段最短，

得A’N+NB=A’B<A’N’+BN’ ∴AM+NB<AM’+BN’ ∵MN=M’N’ ∴AM+MN+NB<AM’+M’N’+N’B,即路径AMNB最短。A M' M A' b a

N' N B

【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟1、如图，某牧童在A外放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、 BD,且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500米。①牧童从A处把牛牵 到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这一 点；②最短路程是多少？ 解：①作点A关于直线b的对称点A’,连接A’B交直 线b于点E,则AE+BE=A’E+BE=A’B,根据两点之间线 段最短，AE+BE的路程最短。 A' ②∵点A与点A’关于直线b对称 ∴AE=A’E,AC=A’C ∴∠AEC=∠A’EC a ∵∠BED=∠A’EC ∴∠AEC=∠BED C E D b ∵∠ACE=∠BDE=90°,AC=BD ∴△AEC≌△BED(AAS) ∴EC=ED,BE=AE B A ∵点A到河岸CD的中点的距离为500米 ∴BE=AE=500 ∴AE+BE=1000(米),即最短路是1000米。

【点拨精讲】(3分钟) 1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移

等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。 2、证明路线最短常采取作对称点的依法，利用两点之

间线段最短及三角形三边关系来解决问题。,

【课堂小结】(学生总结本堂课的收获与困惑)2分钟

【当堂训练】10分钟