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2002年湖南省高中理科实验班联合招生考试试题

数 学

一、填空题（4′×14=56′）

1．已知实数a、b满足：a b=3，那么a3 b3 9ab的值为_____

2．设a

的小数部分，b

的小数部分，则a的整数部分为_____ a bb

3．两个方程组 640x+20y=n 3x+y=8与 有相同的解，则m+n的值为_____ 2xy7500489x y=m =

p4．已知半圆的直径AB=12，点C、D是这个半圆（弧）的三等分点，则弦BC、BD和CD

围成的图形的面积为_____

5．△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则

6．已知a是方程x2 2002x+1=0的根，则2a2 4003a+1+AB AC=_____ CD2002=_____ a2+1

7．已知实数x、y满足：x2 y2+2y+3=0，则x2+y2的值为_____

8．A、B是平面上两个不同的定点，在此平面上找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C共有_____个。

9．圆周上有2002个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_____

10．设实数a、b、c满足：(a b)(b c)(c a)=1，则多项式(b a)(2001 c)(2002 c) +(c b)(2001 a)(2002 a)+(a c)(2001 b)(2002 b)的值为_____

11．某电脑用户计划使用不超过800元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买5片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有_____种。

12．长沙市某中学100名学生共向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书数最多的某同学最多能捐书_____本。

13．P是△ABC内任意一点（不在边界上），设P到△ABC的周界上的点的最大距离与最小距离分别为H和h，则H的最小值为_____ h

14．在圆内接四边形ABCD中，∠A=52.5°,∠B=97.5°,∠AOB=120°（O为圆心），AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，则此四边形ABCD的面积用a、b、c、d表示为_____

二、（10′）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人共150人；甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元。现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲、乙两种工种各聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？最小值为多少？

三、（12′）已知抛物线y=ax2+(a+2)x+2a+1与直线y=2 3x至少有一个交点是整点

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（横、纵坐标均为整数的点），试确定整数a的值，并求出相应的交点（整点）的坐标。

四、（12′）如图，已知在△ABC中，AB>BC，过点B作△ABC外

接圆的切线，交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接AE交△

ABC的外接圆于点F，求证：∠CBF=∠BDF.

五、（15′）（Ⅰ）对任何实数x1、x2、x3，如果x1+x2+x3=0，那

么x1x2+x2x3+x3x1≤0请证明之；

（Ⅱ）对于怎样的正整数n(n≥4)，对任意的实数x1、x2、…、xn，若x1+x2+x3+""+xn=0，则一定有x1x2+x2x3+""+xn 1xn+xnx1≤0。

六、（15′）试求同时满足下列两个条件的一切有序正整数组(a,b)：

（Ⅰ）7a b2>0；

（Ⅱ）ab2+b+7整除7a b2，即ab2+b+7()(7a b)。 2

七、（15′）如图，从锐角△ABC的两边CA、CB分别向

外作△ACD、△BCE，使得AD=CD，BE=CE，设AB的

中点为M，连接DM、EM，已知DM与EM互相垂直，设EDMDCAC=u,=v试求u、v表示。 BCEMEC

AM

八、（15′）国际象棋比赛中，胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分，今有10名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后发现各选手得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第一名选手与第二名选手均没有负一局，第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，还知道第四名选手的得分是最后四名选手的得分的总和，问前六名选手各得分多少？并说明理由。