数字信号处理资源 作者：张维玺

第8章 数字信号处理中的误差与量化效应8.1 8.2 8.3 二进制算法与运算误差 A-D转换的量化效应 FFT定点制运算中的有限字长效应

8.4 8.5 8.6

FFT浮点制运算中的有限字长效应 系数量化对数字滤波器的影响 系数量化对FFT的影响

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8.1 二进制算法与运算误差8.1.1 8.1.2 8.1.3 定点制表示及运算误差 浮点制表示及运算误差 负数表示法

8.1.4

截尾与舍入产生的误差

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8.1.1 定点制表示及运算误差

小数点在数码中的位置是固定不变的，称为定 点制。通常定点制把数限制在±1之间，即-1<x< 1。将整数的最后一位作为“符号位”,表示数 的正或负，在其后是小数部分，也称“尾数”。

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8.1.2 浮点制表示及运算误差

定点制的不足是动态范围小，有溢出问题。而 浮点制克服了这个缺点，它有很大的动态范围。 浮点制将一个数表示为 x1=2c1M(8-5)

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8.1.3 负数表示法1.原码 2.补码xc 3.反码x0

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1.原码

二进制数的原码表示为x=[βΔβ1β2…βb]2 式 中，βΔ=0 x>01 x<0。 与二进制原码表示数对应的十进制数为 x=(-1) β∑bi=1βi2-i

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2.补码xc

补码是用2的补数xc表示负数，xc的十进制的数 值计算公式为xc=2-x=2+x,则二进制负数的补码 一般表示为xc=[αΔα1α2…αb]2,式中αΔ=1。 对应的十进制数值为xc=-αΔ+∑bi=1αi2-i(8-6)

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3.反码x0

二进制负数的反码表示除符号位为1外，其余将 该数正值二进制数表示取反，即0改为1,1改为 0。二进制负数的反码表示为 x0=[γΔγ1γ2…γb] 2,式中γΔ=1。

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8.1.4 截尾与舍入产生的误差1.定点截尾 2.定点舍入 3.浮点

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1.定点截尾(1) x>0,不论原、补、反码表示相同。 (2) x<0 ,原码。 (3) x<0,补码。

(4) x<0,反码。

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图8-1 定点截尾的量化特性

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2.定点舍入

因为舍入处理不论正、负，也不论原、补、反 码，其误差总是在±2-b/2之间，即ER≤2-b/2, 其量化特性如图8-2所示。

图8-2 定点舍入的量化特性

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3.浮点

在浮点制中截尾与舍入的处理只受尾数字长影 响，但所产生的绝对误差E=Q[x]-x却与阶码 有关。

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8.2 A-D转换的量化效应8.2.1 8.2.2 A-D转换量化噪声的定义 量化噪声通过线性系统

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8.2.1 A-D转换量化噪声的定义A-D转换器是将模拟输入信号转换为b位二进制数字信号。分析A-D转换器 量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。一个A-D转换 器从功能上讲可以分为两部分：取样器与量化器。

(1) 定点舍入情况(2) 定点补码截尾情况

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8.2.1 A-D转换量化噪声的定义

图8-3 A-D转换器的非线性模型

图8-4 A-D转换的统计模型

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图8-5 量化噪声概率密度曲线 a) 舍入误差 b)补码截尾误差

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(1) 定点舍入情况。

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(2) 定点补码截尾情况1) 信号功率越大，信噪比越高(但信号的幅度不

能超过A-D转换器动态范 围)。 2) 随着字长b增加，信噪比增大，字长每增加1位，则信噪比增加约6dB。

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8.2.2 量化噪声通过线性系统(1) 系统是完全理想无限精度的线性系统，其单位取样响应为h(n)。 (2) e(n)为舍入量化噪声，均值0。

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(1) 系统是完全理想无限精度的线性系统，其单位取 样响应为h(n)。

图8-6 量化噪声通过线性系统