——极小值原理李俊 Ljun@

最优控制

中国科学技术大学

提纲 极小值原理证明 Bang-Bang控制 最小能量控制 最小燃料量控制 离散时间极小值原理

中国科学技术大学

极小值原理 庞特里亚金，1956年提出。 从变分法引伸而来，求解容许控制问题的得 力工具。

g x(t ), u(t ), t 0

中国科学技术大学

系统描述 (t ) f x(t ), u(t ), t 状态方程 x

x(t ) R n

u(t ) R r

初始条件 终端约束 控制约束

x(t0 ) x0N x(t f ), t f 0

m维连续可微的矢量函数 m nk 维连续可微的矢量函数

g x(t ), u(t ), t 0tf

k r

性能泛函 J x(t f ), t f L x(t ), u(t ), t dtt0

, L维连续可微的标量函数

t f 待定，求最优容许控制u*(t),使性能泛函极小

中国科学技术大学

引入新的r维控制变量w(t),令 (t ) u(t ), w(t0 ) 0 w

则u(t)不连续时，w(t)连续；u(t)分段连续，w(t)分段 光华连续。 引入新的k维控制变量z(t),令 (t ) z2

g x(t ), u(t ), t , z (t0 ) 0

则无论z’正负，满足g非负的要求。 通过上述变换，将不等式约束的最优控制转化为等 式约束的波尔扎问题。再引入两个拉格朗日乘子T J x ( t ), t N f f x(t f ), t f

tf

t0

, λ, t λ x γ H x, wT

T

2 g ( x , w , λ , t ) z dt

中国科学技术大学

, λ, t L x, w , t λ T f x, w ,t H x, w为简便，令 2 , w , λ , γ, z , t H x, w , λ, t λ T x γT x, x g ( x , w , t ) z , w , λ, γ, z , t dt J1 x(t f ), t f N x(t f ), t f t0 x, xT tf

增广性能泛函J1的一次变分t f t f T Jt f μ N dt t f t f

J1 J t J x J w J zf

t t f

T N tf μ t f t f t f t t f

中国科学技术大学

tf T T T J x x (t f ) μ N t t x x dt t f 0 x x x T tf T T x (t f ) μ N x t t t f 0 t t f x x (t f ) t f dx(t f ) x(t f ) x T

T x

d dt x dt x

tf NT T J x x (t f ) μ tf x t0 x x t t x t t f x f T

T x

d

dt x dt x

tf T d J w w (t f ) w dt t 0 t t f w dt w tf T T d J z z (t f ) z dt t 0 t t f z dt z T

中国科学技术大学

T NT N T T J1 μ x μ t f x (t f ) t t x x x x t t f f f t t f

w T (t f )

d T d T d x w z dt t0 dt w dt z x dt x 欧拉方程

NT T μ x 0 t t x t f f t t f f T

z T (t f ) t t f t t f w z

d x dt d w dt d z dt

0 x d 0 0 w w dt w d 0 z dt zt t f

横截条件 NT μ 0 x x x t t f

z

0t t f

中国科学技术大学

2 , w , λ , γ, z , t H x, w , λ, t λ T x γT x, x g ( x , w , t ) z

λ x

欧拉方程

H gT γ λ x x d H gT γ 0 w dt w d T 0 γ z dt横截条件

NT μ H 0 t t f f t t f

NT μ λ 0 x x t t f

H gT w w

γ 0 t t f

γT z中国科学技术大学

t t f

0

T H g λ γ x x

H 只有g不含x时，才有 λ x

d d 和 0 ,知 0 dt z dt w

和 为常数 z w

又

w

0t t f

和 zt t f

0

,知沿最优轨线，恒有为常数 0 w z H gT γ u u

0 w

得

故存在不等式约束时，沿最优轨线， H 0不成立 u

H gT γ 0 w w

中国科学技术大学

充分条件，需满足维尔斯特拉斯E函数沿最优轨线非负 , w ,z x* , w * , z * , x *, w *, z * E x* , w * , z * , x * * x ) w ) z ) (x (w (z 0 x w z*

由于沿最优轨线有

2 (t ) g x(t ), w (t ), t 及z * * * * * * * * * *

E x , λ , γ , x, w, z x , λ , γ , x , w , z (x x ) x , w ,z λ *T x x* , λ * , γ* , x *, w *, z * λ *T x * x* , λ * , γ* , x* * * * * H x , λ , w , t H x , λ , w ,t 0* * * * * H x , λ , u , t H x , λ , u ,t 0

λ 0 x w z

H视为u的函数，则在最 优轨线上，与最优控制u*对应的H取绝对极小值

中国科学技术大学

极小值原理 (t ) f x(t ), u(t ), t 状态方程 x

x(t ) R n

u(t ) R r

初始条件 x(t0 ) x0 终端约束 N x(t f ), t f 0 控制约束tf

t f 待定m维连续可微的矢量函数 m nT

k 维连续可微的矢量函数 g x(t ), u(H t ), 0 , t λ f x, w ,t w , λ ,t L x, w x,t

k r

性能泛函 J x(t f ), t f t0 L x(t ), u(t ), t dt 取哈密尔顿函数为 则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x*和 最优协态矢量λ*满足下列关系中国科学技术大学

1. 沿最优轨线满足正则方程 x H λT H g λ γ x x

2. 在最优轨线上，与最优控制u*对应的H函数取绝对极小值* * * * * min H x , λ , u , t H x , λ , u ,t u U

H λ g不含x时有 x

* * * * * H x , λ , u , t H x , λ , u ,t T H g 沿最优轨线有 γ u u 3. H函数在最优轨线终点处的值决定于

或

NT μ H 0 t f t f t t f 中国科学技术大学

4. 协态终值满足横截条件 NT λ (t f ) x x μ t t f

5. 满足边界条件x(t0 ) x0* * * * * H x , λ , u, t H x , λ , u , tf

N x(t ), t f 0

以上即为极小值原理 不等式约束下的最优控制必要条件与等式约束下的相比，仅 有控制方程和协态方程有变化T H g λ γ x x

中国科学技术大学

极小值原理说明1. 条件1和2普适于求解各种类型的最优控制问题，且与边界 条件形式或终端时刻自由与否无关。且* * * * * H x , λ , u , t H x , λ , u ,t

表明u(t)和u*(t)都在容许的有界闭集U中取值时，只有u*(t)能使 H函数沿最优轨线x*(t)取全局最小值。这与闭集U的特性无关。 条件3描述H(tf)与tf的关系，可确定tf值。tf固定时该条件不成立 条件4和5表明，终端时刻状态自由度的扩大是以协态自由度 缩小为代价的。状态终值和协态终值提供n个边值条件。中国科

学技术大学

极小值原理说明(续)2. 控制矢量无界时 0 ;有界时，不成立，应代之H为全 u 局最小。而u*确实保证了H的全局最小。满足变分法应用条件时，用 H 0求解只是极小值原理的一个特例。 u H

3. 极小值原理给出最优控制的必要条件，并发充分条件。不符合极小值原理的控制必定不是最优控制；符合的只是最优控制的候选 函数，需辅之以实际问题判断或数学上进行证明。

4. 极小值原理放宽了控制条件，不要求H对u可微。例，H为线性函数，或在容许控制范围内，H单调上升(下降)时。

中国科学技术大学

极小值原理 更加详细的计算公式，建议看书中第73、74 页的表格

中国科学技术大学

例 x u, x(0) 5 x

1 Ce t tf

0.5 u 1H x u x u

1

(1) 0

min J ( x u)dt0

1

C e e1 t 1切换时间

x(1 ) u (1 )

H为u的线性函数。H极小即 求u (1 ) 极小。 1.0 1 u 0.5 1 协态方程 H (1 ) x中国科学技术大学

e1 t 1 1 t 1 ln 2 0.307 x 1.0 1 x x 0.5 1

4e t 1 0 t 0.307 x t 4.368 e 0.5 0.307 t 1

14

12

10

8

6

4

2

J * ... 8.684中国科学技术大学

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

由边界条件得

x(0) 0

λ (t f )

x(t f ), t f x(t f )

N T x(t f ), t f μ x(t f )

3 7*

C1

C2 2 1.4 1.2

C3 0

C4 0

3 6 u t 7 7 1 3 3 2 * x1 t t 14 7 3 2 6 * x2 t t 14 7中国科学技术大学

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

极小值原理应用 用极小值原理替代控制方程 使用极小值原理时，不管状态、协态如何， H u 0 只考虑H与u的关系，按照使H(全局)极小的原 则预选u,得到u的一组候选函数 利用u的候选函数，与正则方程、横截条件、 初始条件联立，确定最优解

中国科学技术大学