第6讲 立体几何问题的题型与方法——范例分析

例6、 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为a,从而只要算出四棱锥的高就行了.

2

PB 面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=3a,

13

V锥 a a2 a.

33

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

AE CE, CED 90 ,故 CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

2

a OA AE AD a. 2

222AE EC (2 OA)(AE 2OA)(AE 2OA) 在 AEC中,cos AEC 0. 2

2AE ECAE

故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

说明：本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

例7、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90，AC=1，C

点到AB1的距离为CE=

，D为AB的中点. 2

（1）求证：AB1⊥平面CED；

（2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角.

解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，

∠ABC=90，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,

∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=

12，AC=1 , ∴CD=.∴DE (CE)2 (CD)2 ； 222

（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=∴AB1

30

，BC=AC=1,∴∠B1AC=602

122

BB

(AB) (AB) 2,

， ∴ 2112

cos60