《复变函数与积分变换》(全集)

第四章 留数理论及其应用

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§4-1 孤立奇点的分类及性质

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孤立奇点: 可去奇点, (m级)极点, 本性奇点.

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例:

si nz z 0是 函 数 ( z ) f 的孤立奇点 . z

sinz 1 ( 1)n z 2 n 1 ( 1)n z 2 n f ( z) z z n 0 ( 2n 1)! n 0 ( 2n 1)!

不含z的负幂次项.si nz 所 以 ： 0是 函 数 ( z ) z f 的可去奇点 . z

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解:

z 1是函数的孤立奇点，z2 1 lim lim( z 1) 2, z 1 z 1 z 1

z 1是函数的可去奇点 .

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. 解: z 0, 1, 2i 都是函数的孤立奇点1 z( z 1) ( z 2i ) ( z 2i ) 令：g ( z ) , f ( z) z 13 2 2

则 ：z 0, 1, 2i 依 次 是 ( z )的 g 一 级 ， 三 级 ， 二 级 零.点 z 0, 1, 2i 依 次 是 ( z )的 f 一 级 ， 三 级 ， 二 级 极. 点

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解:

z 1是函数的孤立奇点 .f ( z) ez z 1

e e

1 z 1

1 e , n n 0 n! ( z 1)

z 1是f ( z )的本性奇点 .

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解:

由级点的性质,g1 ( z ) g( z) , n ( z z0 )

f1 ( z ) 设 ：f ( z ) , m ( z z0 )

其 中f1 ( z ), g1 ( z )在z z0 解 析 ， 且 ： 1 ( z0 ) 0, g1 ( z0 ) 0. f