向量模型在数学复习中的应用

无锡市第三高级中学 顾晓骅 214026

向量是数学中非常重要的概念，在新课标中，向量以两个不同的层次平面向量与空间向量进入教材，向量的应用非常广泛，它是三角、代数、解析几何、立体几何等多种学科联系的纽带。作为一种数学或物理模型，具有很强的工具性。向量不仅是一个数学运算的对象，更是一种数学模型，一种数学观念。引进向量来处理问题，有时很快捷，也很简洁明了。在历年的高考中，向量多次作为被考察的对象，地位逐年上升，形式也产生变化。教育部考试中心任子朝先生指出“向量已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。” 因此，高三数学复习要重视向量的这种模型作用。本文结合多年的高三复习经验，谈一点个人的想法。

(1) 向量知识在代数中的应用 利用向量数量积的一个重要性质|a·变形为|a·b| |a|·|b|，b|2 |a|2·|b|2可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效地提高学生的观察分析能力和想象能力。

例1：设x,y R,求证x4 y4x2 y2 x3 y3 2

分析 不等式左边可以看作两向量 x2,y2, x,y 模平方的积，不等式右边可看作两向量

a x2,y2,b x,y 内积的平方，所以有

x3 y cos x4 y4x2 y2

223

22 例2：设x R,求函数y x x 1 x x 1的值域。

分析： 由函数的结构，可将其变形为向量模的形式，然后再利用向量模的性质进行解题：

221 1 3 22 x , y x x 1 x x 1 x 2 2 2 2 22

1 1 则有y , x ,构建向量

x , 22 22

因为

1,0 y 1. 1，1 。所以函数y x x 1 x x 1的值域为 22

（2）向量知识在立体几何中的应用

现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中