新型电液比例阀的设计及其控制方法的研究

新型电液比例阀的设计及其控制方法的研究

然坐标系（ε,η）下的正方形，自然坐标系的原点取在正方形单元的中心，且单元在（-1，1）之间。现在在自然坐标系（ε,η）下构造形函数[6]。利用差值，设正方形单元中任意一点的函数值u=α0+α1ε+α2η+α3εη。将以上插值运用在正方形单元的四个节点上得到下式：

ui u j = uk ul 1 1 1 1εiεjεk

εlηiεiηi α0 α ηjεjηj 1 （2.12） ηkεkηk α2 ηlεlηl α3

这里将四个顶点的自然坐标代入矩阵，求逆，得到α的表达式

α0 11 α 1111 = α2 4 1 1 α 1 1 3 11 ui u 1 1 j （2.13） 11 uk 1 1 ul

将系数带入到插值公式中可以将插值公式写成

ui u

u=[Ni Nj Nk Nl] j （2.14） uk uk

N就是形函数

Ni（ε,η）=1（1+εεi）(1+ηηi) , (i=1,2,3,4) （2.15） 4

其中ε1=ε4= 1，ε2=ε3=1，η1=η2= 1，η3=η4=1

式（2.14）表示单元内的任意函数u可以由形函数与节点函数求出。求出形函数后就可以通过插值写出物理坐标系和自然坐标系的映射关系，这就把四边形和正方形内的各点一一对应起来。映射关系如下：

x=∑Ni(ε,η)xi i=14N （2.16）

y=∑Ni(ε,η)yi

i=14

设u为问题的近似解，根据最小余量原理，把u带入方程，然后所得结果和f的差再与权函数求积后在问题域上的积分等于零。如果权函数就取形函数，则这种方法叫做Galerkin法，用如下式表示：

2u 2

[(2+2) f]Nj(x,y)dxdy=0 （2.17） ∫∫ u uD

上式中括号内为余量，利用分布积分和格林公式并把问题边界条件代入可得：