2009年高考试题——数学(江苏卷)解析版

a

(0,1)，函数f(x) ax在R上递减。由f(m) f(n)得：m<n 11.已知集合A xlog2x 2,B ( ,a)，若A B则实数a的取值范围是(c, )，其中c= ▲ .

【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由log2x 2得0

x 4，A (0,4]；由A B知a 4，所以c 4。

12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则l和 平行；（3）设 和 相交于直线l，若 内有一条直线垂直于l，则 和 垂直；（4）直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）.．．．

【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

真命题的序号是(1)(2) ．．．

x2y2

13．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2 2 1(a b 0)的四个顶

abF为其右焦点，点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT

的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线A1B2的方程为：

xy

1； ab

xy 1。二者联立解得：c b

直线B1F的方程为：

T(

2acb(a c)

,)， a ca c

x2y2acb(a c)

,)在椭圆2 2 1(a b 0)上， 则M(

aba c2(a c)

c2(a c)2

1,c2 10ac 3a2 0,e2 10e 3 0，

22

(a c)4(a c)

解得：e 5

14．设 an 是公比为q的等比数列，|q| 1，令bn an 1(n 1,2, )，若数列 b

n 有连续

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四项在集合 53, 23,19,37,82 中，则6q= ▲ .【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

an 有连续四项在集合 54, 24,18,36,81 ，四项 24,36, 54,81成等比数列，公比为

3

q ，6q= -9

2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）

设向量a (4cos ,sin ),b (sin ,4cos ),c (cos , 4sin )

（1）若a与b 2c垂直，求tan( )的值；

（2）求|b c|的最大值;

（3）若tan tan 16，求证：a∥b.【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。

16．（本小题满分14分）EF分别是A1B、AC如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，、1的中点，

点D在B1C1上，A1D B1C

。求证：（1）EF∥平面ABC；

平面BB1C1C. （2）平面A1FD

【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。

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17．（本小题满分14分）设 an 是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22 a32 a42 a52,S7 7。（1）求数列 an 的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得

amam 1

为数列 an 中的项。am 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

（1）设公差为d，则a2

2

222

，由性质得 3d(a4 a3) d(a4 a3)，因为 a5 a4 a3

d 0，所以a4 a3 0，即2a1 5d 0，又由S7 7得7a1

7 6

d 7，解得2

a1 5，d 2,

(2)

（方法一）则

amam 1(2m 7)(2m 5)

=,设2m 3 t，

2m 3am 2

8amam 1(t 4)(t 2)

t 6, 所以t为8的约数

=

ttam 2

（方法二）因为

amam 1(am 2 4)(am 2 2)8

为数列 an 中的项， am 2 6

am 2am 2am 2

故

8 am+2

为整数，又由（1）知：am 2为奇数，所以am 2 2m 3 1,即m 1,2

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经检验，符合题意的正整数只有m 2。 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x 3)2 (y 1)2 4和圆

C2:(x 4)2 (y 5)2 4.（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C

1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂

直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆

C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线l的方程为：y k(x 4)，即kx y 4k 0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l

的距离d 1，

1,

化简得：24k 7k 0,k 0,or,k 求直线l的方程为：y 0或y

2

7 24

7

(x 4)，即y 0或7x 24y 28 0 24

(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

111

y n k(x m),y n (x m)，即：kx y n km 0, x y n m 0

kkk

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

41| 5 n m|

化简得：(2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 5 关于k的方程有无穷多解，有：

2 m n 0 m-n+8=0

,或

m n 3 0 m+n-5=0