2012年全国各地中考数学试卷菁优网详细解析版

23．（11分）（2012 海南）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上

的点E、F处，折痕分别为CM、AN，

（1）求证：△ADN≌△CBM；

（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由； （3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

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∵

,

∴△ADN≌△CBM, (2)解：连接 NE、MF, ∵△ADN≌△CBM, ∴NF=ME, ∵∠NFE=∠MEF, ∴NF∥ME, ∴四边形 MFNE 是平行四边形， ∵MN 与 EF 不垂直， ∴四边形 MFNE 不是菱形； (3)解：设 AC 与 MN 的交点为 O,EF=x,作 QG⊥PC 于 G 点， ∵AB=4,BC=3, ∴AC=5, ∵AF=CE=BC=3, ∴2AF﹣EF=AC,即 6﹣x=5, 解得 x=1, ∴EF=1, ∴CF=2, 在 Rt△ CFN 中，tan∠DCA= 解得 NF= , ∵OE=OF= EF= , ∴在 Rt△ NFO 中，ON =OF +NF , ∴ON= ,2 2 2

=

= ,

∴MN=2ON= , ∵PQ∥MN,PM∥MQ, ∴四边形 MQPN 是平行四边形， ∴MN=PQ= , ∵PQ=CQ, ∴△PQC 是等腰三角形， ∴PG=CG, 在 Rt△ QPG 中， PG =PQ ﹣QG ,即 PG= ∴PC=2PG=2.2 2 2

=1,

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24．（13分）（2012 海南）如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON， （1

）求该二次函数的关系式；

（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： ①证明：∠ANM=∠ONM； ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

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∴二次函数解析式为 y= (x﹣4) ﹣4= x ﹣2x; (2)①证明：过 A 作 AH⊥l 于 H,l 与 x 轴交于点 D,如图所示：

2

2

设 A(m, m ﹣2m) ,又 O(0,0) ,

2

∴直线 AO 的解析式为 y=

x=( m﹣2)x,2

则 M(4,m﹣8) ,N(4,﹣m) ,H(4, m ﹣2m) , ∴OD=4,ND=m,HA=m﹣4,NH=ND﹣HD= m ﹣m, 在 Rt△ OND 中，tan∠ONM= 在 Rt△ ANH 中，tan∠ANM= = , = = = ,2

∴tan∠ONM=tan∠ANM, 则∠ANM=∠ONM; ②△ANO 不能为直角三角形，理由如下： 分三种情况考虑： (i)若∠ONA 为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°, ∴△AHN 为等腰直角三角形， ∴HA=NH,即 m﹣4= m ﹣m, 整理得：m

﹣8m+16=0,即(m﹣4) =0, 解得：m=4, 此时点 A 与点 P 重合，故不存在 A 点使△ ONA 为直角三角形； (ii)若∠AON 为直角，根据勾股定理得：OA +ON =AN , ∵OA =m +( m ﹣2m) ,ON =4 +m ,AN =(m﹣4) +( m ﹣2m+m) , ∴m +( m ﹣2m) +4 +m =(m﹣4) +( m ﹣2m+m) , 整理得：m(m﹣4) =0, 解得：m=0 或 m=4, 此时 A 点与 P 点重合或与原点重合，故∠AON 不能为直角； (iii)若∠NAO 为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°,且∠AMN=∠DMO, ∴△AMN∽△DMO, 又∠MAN=∠ODN=90°,且∠ANM=∠OND, ∴△AMN∽△DON,©2010-2012 菁优网2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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∴△AMN∽△DMO∽△DON, ∴ = ,即2

= ,

整理得： (m﹣4) =0, 解得：m=4, 此时 A 与 P 重合，故∠NAO 不能为直角， 综上，点 A 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动时，△ ANO 不能为直角三角形. 点评： 此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰直 角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题(2)中的第②小问利用的是反证 法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不 成立.

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