矩阵的逆的典型例题

ML32006

第三种证法

第一步：( A 1 + B 1 ) A( A + B ) 1 B = A 1 A( A + B ) 1 B + B 1 A( A + B ) 1 B = ( E + B 1 A)( A + B ) 1 B = ( E + B 1 A)( A + B ) 1( B 1 ) 1 = ( E + B 1 A) B 1( A + B ) 1

= ( E + B 1 A)( E + B 1 A) 1 = E 需要配音或重点提示的文字：无 第四种证法 第一步：将 A 1 + B 1 恒等变形，得到

A 1 + B 1 = A 1( A + B )B 1或

A 1 + B 1 = B 1( A + B )A 1

对上两式分别求逆，即 ( A 1 + B 1 ) 1 = B( A + B ) 1 A ( A 1 + B 1 ) 1 = A( A + B ) 1 B

需要配音或重点提示的文字：无 学生常犯的错误 需要配音或重点提示的文字：无 内容： 错误地推出( A + B ) 1 = A 1 + B 1 . 相关例题一 题目一：设 A , B , AB E 为同阶非奇异矩阵，试证： (1) A B 1 为非奇异矩阵； (2)( A B 1 ) 1 A 1 也是非奇异矩阵，并求其逆阵. 解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证. 解答： 1) ( 因 故

A B 1 = AE B 1 = ABB 1 B 1 = ( AB E )B 1A B 1 = AB E B 1 ≠ 0, 即 A B 1 为非奇异矩阵.

(2)因

( A B 1 ) 1 A 1 = ( A B 1 ) 1 ( A B 1 ) 1( A B 1 )A 1 = ( A B 1 ) 1 E ( A B 1 )A 1 = ( A B 1 ) 1( AB ) 1 = ( AB )( A B 1 ) = [ A( BA E )] 1 1

= ( ABA A) 1

= ( BA E ) 1 A 1

由已知条件， A ≠ 0, BA E ≠ 0, 得 A 1 ≠ 0( BA E ) 1 ≠ 0 故 (A B 1) 1 A 1 ≠ 0, 即 (A

B 1 ) 1 为非奇异矩阵，且

(A B 1 ) 1 A 1 =(BA E ) 1 A 1 =A BA E ) ( 相关例题二 题目二：设 A , B , A + B 均为正交矩阵，试证： ( A + B ) 1 = A 1 + B 1 解题思路：利用正交阵的定义证. 解答：因为 A, B, A + B 均为正交矩阵，所以A 1 = AΤ , B 1 = B Τ ,( A + B ) 1 = ( A + B )Τ 成立.

1

1

从而 方法总结

( A + B ) 1 = ( A + B )Τ = AΤ + B Τ = A 1 + B 1

需要配音或重点提示的文字：无 内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算 的基本性质得到了方法 1,2,3,也可用恒等变形.