01【数学】高中数学竞赛讲义-不等式的应用

高中数学联赛 奥林匹克竞赛 讲义

§15不等式的应用

1．排序不等式（又称排序原理）

设有两个有序数组a1 a2 an及b1 b2 bn. 则a1b1 a2b2 anbn（同序和）

a1bj1 a2bj2 anbjn（乱序和） a1bn a2bn 1 anb1（逆序和）

其中j1,j2, ,jn是1，2，…，n的任一排列.当且仅当a1 a2 an或

b1 b2 bn时等号（对任一排列j1,j2, ,jn）成立.

2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：

设有n个正数a1,a2, ,an的算术平均数和几何平均数分别是

An

a1 a2 an

和Gn a1a2 an

n

此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到

Hn

n

111 a1a2an

，

和平方平均（在统计学及误差分析中用到）

22a12 a2 an

* 这四个平均值有以下关系Hn Gn An Qn. ○Qn

n

3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.

柯西（Cavchy）不等式：设a1、a2、a3，…，an是任意实数，则

2222

(a1b1 a2b2 anbn)2 (a12 a2 an)(b12 b2 bn).

等号当且仅当bi kai(k为常数，i 1,2, ,n)时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若a1 a2 an，b1 b2 bn ， 则

a1b1 a2b2 anbna1 a2 anb1 b2 bn

.

nnn

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例题讲解

. 1．a,b,c 0,求证：ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc

a b c3

2．a,b,c 0，求证：abc (abc)

abc

.

a2 b2b2 c2c2 a2a3b3c3

. 3．：a,b,c R,求证a b c

2c2a2bbccaab

4．设a1,a2, ,an N*，且各不相同，

求证：1

12131aa3an a1 2 .. n2232n2

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5．利用基本不等式证明a2 b2 c2 ab bc ca.

6．已知a b 1,a,b 0,求证：a b

4

4

1. 8

7．利用排序不等式证明Gn An

8．证明：对于任意正整数R，有(1

1n1n 1) (1 ). nn 1

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111

9．n为正整数，证明：n[(1 n) 1] 1 n (n 1)nn 1.

23n

1n

1

例题答案：

1. 证明：

ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc

a(b2 c2 2bc) b(a2 c2 2ac) c(a2 b2 2ab)

a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2

0

ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6ab.c

评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a b c ab bc ca时，可将a b

2

2

2

2

2

1

(ab bc ca)配方为[(a b)2 (b c)2 (c a)2]，亦可利用a2 b2 2ab,

2

b2 c2 2bc,c2 a2 2ca，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.

2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.

不等式关于a,b,c对称，不妨a b c,则a b,b c,a c R ，且

ab,， bc

a

都大于等于1. c

aabbcc

(abc)

a b c3

a

2a b c3

b

2b a c3

c

2c a b3

a

a b3

a

a c3

b

b a3

b

b c3

c

c a3

c

c b3

a b3

a ()bb ()c

b c3

a ()c

a c3

1.

评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若ai 0(i 1,2, ,n),则a11a22 an

a

a

an

(a1a2 an)

a1 a2 an

n

.

a

b

b

a

（3）本题还可用其他方法得证。因ab ab，同理bbcc bccb,ccaa caac，

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另abc abc，4式相乘即得证.

（4）设a b c 0,则lga lgb lgc.例3等价于alga blgb algb blga,类似例4可证alga blgb clgc algb blgc clga algc blgb clga.事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：

设有两个有序数组a1 a2 an,b1 b2 bn，则a1b1 a2b2 anbn（顺

a

b

c

a

b

c

序和）

a1bj1 a2bj2 anbjn（乱序和） a1bn a1bn 1 anb1（逆序和）

其中j1,j2, ,jn是1,2, ,n的任一排列.当且仅当a1 a2 an或

b1 b2 bn时等号成立.

排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如

a,b,c R 时,a3 b3 c3 a2b b2c c2a a2 a b2 b c2 c

a2b2c2111111

a b b c c a; a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2

bcabcaabc

.

3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.

2

2

2

111111

，则a2 b2 c2 （乱序和）cbacab

111111

a2 b2 c2 （逆序和），同理a2 b2 c2 （乱序和）

abccab111

a2 b2 c2 （逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数

abc

111333

组a b c及，仿上可证第二个不等式. bcacab

不妨设a b c,则a b c,

2

2

2

4.分析：不等式右边各项

ai1 a ；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. ii2i2

设b1,b2, ,bn是a1,a2, ,an的重新排列，满足b1 b2 bn， 又1

111

. 2232n2

anbna2a3b2b3

.由于b1,b2, bn是互不相同的正整 b 122222

n2323n

b3bnb11

数，故b1 1,b2 2, ,bn n.从而b1 2，原式得证. 1 222

2n23n

所以a1

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评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式， …… 此处隐藏：2322字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……