第一讲 数系扩张--有理数（一） ...................................................................................... 2 第二讲 数系扩张--有理数（二） ........................................................................................ 4 第三讲 数系扩张--有理数（三） ........................................................................................ 6 第四讲 数系扩张--有理数（四） ........................................................................................ 8 第五讲代数式（一） ............................................................................................................. 10 第六讲 代数式（二） ........................................................................................................... 12 第七讲 发现规律 ................................................................................................................. 13 第八

综合练习（一） ............................................................................................. 17

第九讲 一元一次方程（一） ........................................................................................... 18 第十讲 一元一次方程（2） ................................................................................................. 19

第一讲 数系扩张--有理数（一）

一、【问题引入与归纳】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成

m

（n 0,m,n互质）。 n

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

a(a 0)

① |a| ② 非负性 (|a| 0,a2 0)

a(a 0)

③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。

ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

|a||b||ab|

1、若ab 0,则的值等于多少？ abab

2． 如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方

3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求

200607

x2 (a b cd)x (a b) ( cd)20的值。

4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|a b| |a b|化简的结果等于（ A.2a B. 2a C.0 D.2b

5、已知(a 3)2 |b 2| 0，求ab的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6

6、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么

a bb cc a

,,中有几个负数？ b cc aa b

7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a

b,a的形式式，又可表示为

b

0，，b的形式，求a2006 b2007。

a

8、 三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且

X

abc|ab||bc||ac|

则ax3 bx2 cx 1的值是多少？

|a||b||c|abbcac

9、若a,b,c为整数，且|a b|2007 |c a|2007 1，试求|c a| |a b| |b c|的值。 三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+ +2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+ +n(n+1)

59173365129

13 3、计算：

2481632644、已知a,b为非负整数，且满足|a b| ab 1，求a,b的所有可能值。5、若三个有理数a,b,c满足

|a||b||c||abc|

1，求的值。 abcabc

第二讲 数系扩张--有理数（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

① |a| |a 0|表示数a对应的点到原点的距离。 ② |a b|表示数a、b对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

1、 （1）若 2 a 0，化简|a 2| |a 2|

（2）若x 0，化简

2、设a 0，且x

||x| 2x|

|x 3| |x|

a

，试化简|x 1| |x 2| |a|

3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（1）|a b| |a| |b|; （2）|ab| |a||b|; （3）|a b| |b a|; （4）若|a| b则a b （5）若|a| |b|，则a b （6）若a b，则|a| |b|

4、若|x 5| |x 2| 7，求x的取值范围。

5、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果

|a b| |b c| |a c|，那么B点在A、C的什么位置？

6、设a b c d，求|x a| |x b| |x c| |x d|的最小值。

7、abcde是一个五位数，a b c d e，求|a b| |b c| |c d| |d e|的最大值。

8、设a1,a2,a3, ,a2006都是有理数，令M (a1 a2 a3 a2005)

(a2 a3 a4 a2006),N (a1 a2 a3 a2006)(a2 a3 a4 a2005),试比较M、N的大小。

三、【课堂备用练习题】：

1、已知f(x) |x 1| |x 2| |x 3| |x 2002|求f(x)的最小值。 2、若|a b 1|与(a b 1)2互为相反数，求3a 2b 1的值。

|a||b||c|

3、如果abc 0，求的值。 abc

4、x是什么样的有理数时，下列等式成立？

（1）|(x 2) (x 4)| |x 2| |x 4| 5、化简下式：|x |x||

x

2）|(7x 6)(3x 5)| (7x 6)(3x 5)（

第三讲 数系扩张--有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：

5 1 3

1、计算：0.75 2 ( 0.125) 12 4

7 8 4

2、计算：（1）、56 90.4. 18. 1 4

（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）、（-4

2 1 1 1

）+ 3 6 2 3 3 2 4

2 3 2

3、计算：① 3 2 1 1.75

3 4 3

1 1 1 ② 1 4 2 2 4 3

7 1 1 1

4、 化简：计算：（1） 4 5 4 3

8 2 4 8

3 5 1 2

（2）3.75 4 0.125

3 8 6 2

3 4

（3）0 1 1 5 4

7 7

2 3 5 （4） 7 1 3

3 4 6

757

（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（ ）

9618

13242

5、计算： （1） 2 3 1 1 （2） 11998 1 0.5 3 3 （3）

3

1 2 2 8 3

2 1 0.5 2

552142

3

34 1 3

6、计算： 1 2 10 0.5

4 16 4

134711133( ) [0.253 ( )3] (5 1.25 4) [(0.45)2 (2)] ( 1)2002 7、计算：

81634242001

：

第四讲 数系扩张--有理数（四）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、巧算的一般性技巧：

① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

1、计算：0.7 12

1111111111(1 ) ( ) (1 )

2319962341997231997

23797

6.6 2.2 0.7 3.3 1173118

、

1111

( ) 2341996

3、计算：① 22 ( 2)2 |3.14 |

( 1)

3

| 3.14|

②5 3 2 4 [ 3 ( 2)2 ( 4) ( 1)3] 7

111

(x y) (2x y) (3x y) (9x y)并求当x 2,y 9时4、化简：

1 22 38 9

的值。

22 132 142 1n2 1

2 2 25、计算：Sn 2 2 13 14 1n 11234n

6、比较Sn n与2的大小。

248162134711133( ) [0.253 ( )3] (5 1.25 4) [(0.45)2 (2)] ( 1)2002 7、计算：

81634242001

a 2ba 2cc 2b

8、已知a、b是有理数，且a b，含c ，x ，y ，请将

333a,b,c,x,y按从小到大的顺序排列。

三、【备用练习题】：

1、计算（1）14 128 170 1130 1208 （2）21 3 23 5 2

99 101

2、计算：2007111111

2 20063 20052 20043 12 3

3、计算：( 112) ( 113) ( 114) ( 1

1

2006

) 1) |b 2| 0，求代数式(b a)2 (a b)20064、如果(a2

2ab (a b)

2005

的值。

5、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为a2 b2

1cd

(1 2m m2

的值。) 2，求

第五讲代数式（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法）

二、【典型例题解析】：

1、用代数式表示：

（1）比x与y的和的平方小x的数。 （2）比a与b的积的2倍大5的数。 （3）甲乙两数平方的和（差）。 （4）甲数与乙数的差的平方。

（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比a的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。 2、代数式的求值： （1）已知

2a b2(2a b)3(a b)

5，求代数式 的值。 a ba b2a b

（2）已知x 2y2 5的值是7，求代数式3x 6y2 4的值。

6a 2b c

的值(c 0)

a 4b c

112a 2b ab

（4）已知 3，求的值。

baa b 2ab

（3）已知a 2b；c 5a，求

（5）已知：当x 1时，代数式Px3 qx 1的值为2007，求当x 1时，

代数式Px3 qx 1的值。

（6）已知等式(2A 7B)x (3A 8B) 8x 10对一切x都成立，求A、B

的值。

（7）已知(1 x)2(1 x) a bx cx2 dx3，求a b c d的值。 （8）当多项式m2 m 1 0时，求多项式m3 2m2 2006的值。

3、找规律：

Ⅰ.（1）(1 2)2 12 4(1 1)； （2）(2 2)2 22 4(2 1) （3）(3 2)2 32 4(3 1) （4）(4 2)2 42 4(4 1) 第N个式子呢？ Ⅱ.已知 2

2233 22 ； 3 32 ； 338844aa

4 42 ； 若10 102

1515bb

（a、b为正整数），求a b ?

Ⅲ. 13 12;13 23 32;13 23 33 62;13 23 33 43 102;猜想： 13 23 33 43 n3 ?

三、【备用练习题】：

1、若(m n)个人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要多少天？

2、已知代数式3y2 2y 6的值为8，求代数式

32

y y 1的值。 2

3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？

4、已知

an 1

11 an

(n

1, 2,

3求当

a1 1时，

a1a 2a2 a3

a2? 0a

第六讲 代数式（二）

一、【能力训练点】：

（1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。

二、【典型例题解析】：

1、 已知多项式2y 5x2 9xy2 3x 3nxy2 my 7经合并后，不含有y的项，求2m n的值。

2、当50 (2a 3b)2达到最大值时，求1 4a2 9b2的值。

3、已知多项式2a3 a2 a 5与多项式N的2倍之和是4a3 2a2 2a 4，求N？

xy 4、若a,b,c互异，且，求x y Z的值。 a bb cc a5、已知m2 m 1 0，求m3 2m2 2005的值。

6、已知m2 mn 15,mn n2 6，求3m2 mn 2n2的值。 7、已知a,b均为正整数，且ab 1，求

ab 的值。 a 1b 1

8、求证111 1222 2等于两个连续自然数的积。

2006个1

2006个2

9、已知abc 1，求

abc

的值。

ab a 1bc b 1ac c 1

10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？

三、【备用练习题】：

1、已知ab 1，比较M、N的大小。

M

11ab

， N 。 1 a1 b1 a1 b

2、已知x2 x 1 0，求x3 2x 1的值。 3、已知

xyz K，求K的值。 y zx zx y

4、a 355,b 444,c 533，比较a,b,c的大小。 5、已知2a2 3a 5 0，求4a4 12a3 9a2 10的值。

第七讲 发现规律

一、【问题引入与归纳】

我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论

上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。 能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。

二、【典型例题解析】 1、 观察算式：

(1 3) 2(1 5) 3(1 7) 4(1 9) 5

,1 3 5 ,1 3 5 7,1 3 5 7 9 , ,2222

按规律填空：1+3+5+ +99= ？，1+3+5+7+

1 3

+(2n 1) ？

2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了多少块石子？

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第n个图案中有白色地面砖多少块？

4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n个图形中三角形的个数为多少？

5、 观察右图，回答下列问题：

（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？

（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？

（3）某一层上有77个点，这是第几层？

（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？

6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+ +100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+ +100”表示为 n，这里“ ”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+ +99”（即从1

n 1100

开始的100以内的连续奇数的和）可表示为

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

(2n 1);

n 1

50

又如

“1 2 3 4 5 6 7 8 9 10”可表示为 n，同学们，通过以上

3n 1

10

材料的阅读，请解答下列问题：

（1）2+4+6+8+10+ +100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；

（2）计算： (n2 1)= （填写最后的计算结果）。

n 15

7、 观察下列各式，你会发现什么规律？

3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 11×13=143，而143=122-1

将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+ +n3的分式，并算出13+23+33+ +1003的值。

三、【跟踪训练题】1

1、有一列数a1,a2,a3,a4 an,其中：a1=6×2+1，a2=6×3+2，a3=6×4+3，a4=6×5+4； 则第n个数anan=2001时，n。 2、将正偶数按下表排成5列

根据上面的规律，则2006应在

行 列。

3、已知一个数列2，5，9，14，20，x，35 则x的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中：

1，3，5，7， ，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10， ，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336

5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：

6、给出下列算式：

32 12 8 152 32 8 2

72 52 8 3

92 72 8 4

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：

7、通过计算探索规律：

152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25

752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）= 根据猜想计算：19952= 8、已知12 22 32 n2

1

n n 1 2n 1 ，计算： 6

112+122+132+ +192= ；

2

9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？