高考总复习·数学(文科)学案 第二章 函数、导数及其应用 第十节 变化率与

第十节变化率与导数、导数的计算

【最新考纲】 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导

数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1

x

，y

＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

1．导数的概念

2．基本初等函数的导数公式

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1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )

(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )

(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－1

2

gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，

汽车的加速度是( )

A．14 m/s2B．4 m/s2

C．10 m/s2 D．－4 m/s2

解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g，故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案：A

3．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )

A．9 B．6

C．－9 D．－6

解析：y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.

答案：D

4．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

解析：∵f ′(x)＝3ax 2＋1，

∴f ′(1)＝3a ＋1.

又f(1)＝a ＋2，

∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．

∵切线过点(2，7)，

∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.

答案：1

5．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．

解析：f ′(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a(1＋ln x)． 由于f ′(1)＝a(1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.

答案：3

两种区别

1．曲线y ＝f(x)“在点P(x 0，y 0)处的切线”与“过点P(x 0，y 0)的切线”

的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

三点注意

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

2．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.

3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．

一、选择题

1．已知物体的运动方程为s＝t2＋3

t

(t是时间，s是位移)，则物体在时

刻t＝2时的速度为( )

A.19

4

B.

17

4

C.15

4

D.

13

4

解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134

. 答案：D

2．若f(x)＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )

A ．2

B ．0

C ．－2

D ．－4

解析：f ′(x)＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2，

∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.

答案：D

3．若曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln 2＋y －1＝0则a ＝( )

A.12

B ．2

C ．ln 2

D ．ln 12

解析：由题知，y ′＝a x ln a ，y ′⎪⎪x ＝0＝ln a ，又切点为(0，1)，

故切线方程为xln a －y ＋1＝0，∴a ＝12

. 答案：A

4．(2017·佛山一中月考)曲线y ＝12

x 2＋x 在点(2，4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )

A ．1

B ．2

C.4

3

D.

2

3

解析：∵y＝1

2

x2＋x，∴y′＝x＋1，

∴切线在点(2，4)处的斜率为3，

由直线的点斜式方程可得切线方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.

令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝2

3 .

所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝1

2

×|－2|×

2

3

＝

2

3

.

答案：D

5．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x

＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(

)

A．－1 B．0 C．2 D．4

解析：由题图可知曲线y ＝f(x)在x ＝3处切线的斜率等于－13

，∴f ′(3)＝－13

， ∵g(x)＝xf(x)，∴g ′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，∴g ′(3)＝f(3)＋3f ′(3)，

又由题图可知f(3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13＝0. 答案：B

6．已知曲线y ＝1e x ＋1

，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为( )

A ．x ＋4y －2＝0

B ．x －4y ＋2＝0

C ．4x ＋2y －1＝0

D ．4x －2y －1＝0

解析：y ′＝－e x

（e x ＋1）2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e

x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≤－14

(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫0，12，切线的 …… 此处隐藏：1923字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……